Oscilador Armónico: Método de Hamilton

Tomando el hilo desde la nota sobre el punto medio. Tenemos aquí el problema:








Despejar el vector $$\vec {w_{n+1}}$$ , en función de $$\vec {w_n}$$. Se usa la flecha arriba de la letra en otros contextos, tal vez más geométricos. Aquí sólo escribo:

$$w_n = \left(\begin{array}{c}v_n\\x_n \end{array}\right)$$
De las ecuaciones anteriores tenemos:

$$\left(\begin{array}{c c}1 & \frac{\epsilon}{2}\\-\frac{\epsilon}{2}& 1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} v_{n + 1}\\ x_{n + 1}\end{array}\right)$$ =$$\left(\begin{array}{c c} 1 & -\frac{\epsilon}{2}\\\frac{\epsilon}{2}&1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} v_n \\ x_n \end{array}\right)$$
Hay una combinación importante, llamado determinante de la matriz. Las dos que aparecen aquí, tienen el mismo determinante:

$$1 - \frac{\epsilon}{2}\times (-\frac{\epsilon}{2}) = 1 + (\frac{\epsilon}{2})^2$$

Usando la matriz inversa tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \frac{\left(\begin{array}{c c}
1 & -\frac{\epsilon}{2}\\
\frac{\epsilon}{2}&1 \end{array}\right)}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\cdot \left(\begin{array}{c c}
1 & -\frac{\epsilon}{2}\\
\frac{\epsilon}{2}&1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$

Multiplicando las matrices tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}&\frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\\
\frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}&\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$

Definimos:

$$\sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}$$ y $$\cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}$$

Se puede ver que:

$$\sin^2 \theta_{\epsilon} + \cos^2 \theta_{\epsilon} = 1$$

Antes de seguir adelante anoto lo siguiente:

El problema físico del oscilador armónico (oa); lleva a una estructura geométrica del problema. El espacio de las variables cinemáticas $$v_n$$ y $$x_n$$ es llamado espacio fase. En el caso del oa, puede uno pensar en la fase $$\theta_{\epsilon}$$, aunque el concepto de fase surge también en otras versiones de la mecánica, diferentes a ésta, llamada Hamiltoniana, en honor a William R. Hamilton.

Por lo pronto, el espacio fase es el espacio de la velocidad y la posición. El vector $$w_n$$ localiza las variables cinemáticas de velocidad y posición. Para el movimiento en una dimensión espacial, que estamos estudiando, el espacio fase es de dos dimensiones.

La solución en el esquema de Newton presentado antes se organiza en la solución consecutiva, primero, encontrar v dada a, y segundo encontrar x dada v. En este esquema de Hamilton, la solución se obtiene simultáneamente. $$w_n$$ lleva a $$v_n$$, y a $$x_n$$.

Dado $$w_0$$, y $$\epsilon$$, encontrar $$w_n$$.

Ese es el contenido de la siguiente nota.