Formalismo Lagrangiano

En este curso usaremos el método de Joseph Louis Lagrange. China se hace responsable de ahora en adelante a monitorear al Sol, con el satélite Kuafu presentado abajo. El satélite se colocará en el punto lagrangiano L1.

Pueden leer en la liga sobre L1 arriba, que Lagrange resolvió el problema reducido de tres cuerpos con el método que usaremos.

"En 1772 el matemático ítalo-francés Joseph-Louis Lagrange estaba trabajando en el célebre Problema de los tres cuerpos cuando descubrió una interesante peculiaridad. Originalmente trataba de descubrir una manera de calcular fácilmente la interacción gravitatoria de un número arbitrario de cuerpos en un sistema. La mecánica newtoniana determina que un sistema así gira caóticamente hasta que, o bien se produce una colisión, o alguno de los cuerpos es expulsado del sistema y se logra el equilibrio mecánico. Es muy fácil de resolver el caso de dos cuerpos que orbitan alrededor del centro común de gravedad. Sin embargo, si se introduce un tercer cuerpo, o más, los cálculos matemáticos son muy complicados. Una situación en la que se tendría que calcular la suma de todas las interacciones gravitatorias sobre cada objeto en cada punto a lo largo de su trayectoria.

Sin embargo, Lagrange quería hacer esto más sencillo, y lo logró mediante una simple hipótesis: La trayectoria de un objeto se determina encontrando un camino que minimice la acción con el tiempo. Esto se calcula substrayendo la energía potencial de la energía cinética. Con esta manera de pensar, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Newton para dar lugar a la mecánica lagrangiana. Con su nueva forma de calcular, el trabajo de Lagrange lo llevó a plantear la hipótesis de un tercer cuerpo de masa despreciable en órbita alrededor de dos cuerpos más grandes que ya estuvieran girando a su vez en órbita cuasi circular. En un sistema de referencia que gira con los cuerpos mayores, encontró cinco puntos fijos específicos en los que el tercer cuerpo, al seguir la órbita de los de mayor masa, se halla sometido a fuerza cero. Estos puntos fueron llamados puntos de Lagrange en su honor."

Pongo entre comillas lo que copio y pego de otras fuentes, los dos párrafos anteriores son de la liga a L1 de Wikipedia que tengo arriba.

En los cursos introductorios se usa el método de Newton publicado en 1687, en lugar del de Lagrange de 1772. Aparte de la razón histórica, yo creo que también hay otra razón.

Los cursos de mecánica escritos antes de 2001 no podían eficientemente integrar métodos numéricos. Aunque las fórmulas de aproximación de Lagrange ya existían, la cantidad de trabajo aritmético necesario lo hacía impráctico en un curso introductorio como éste. Para 2001 hasta un pobre profesor de física como yo en la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (BUAP), tenía en mi escritorio la computadora que compró la universidad para mí.

Desde el punto de vista histórico lo escrito en el párrafo anterior es falso. Recibí una computadora de escritorio a mediados de los 80s, y ya para 2001, cuando compré el libro eimc (Estructura e Interpretación de la Mecánica Clásica) que usaremos, ya trabajaba como ingeniero de software en Illinois, para la organización Bell Labs. El año 2000 renuncié a la BUAP.

El libro de Sussman y Wisdom reconoce esta realidad evidente, y empieza con el método variacional de Lagrange desde el primer capítulo.