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Thursday, July 22, 2010

Solución Exacta del Movimiento Uniformemente Acelerado

Galileo demostró geométricamente que la velocidad promedio del movimiento uniformemente acelerado corresponde al mismo desplazamiento que el de velocidad linealmente variable.

[;\bar v_n = \frac{v_{n+1} + v_n}{2};]

De una nota anterior tenemos:

[;v_n = v_0 + a \times (n\epsilon);]

Sustituyendo:

[;\bar v_n = \frac{2v_0 + a\times\{(2n +1)\epsilon\}}{2};]
Finalmente el desplazamiento se obtiene de:

[;x_{n+1} = x_n + \frac{2v_0 + a\times\{(2n + 1)\epsilon\}}{2}\times \epsilon;]

Este es un problema nuevo en esta sección de diferencias finitas. Ahora la iteración produce una suma con términos que dependen de [;n;]. Veamos que tipo de estructura produce esta iteración. Empecemos por [;n = 0;] , y veamos el que sigue también.

[;x_1 = x_0 + v_0\times \epsilon + \frac{a\times \epsilon^2}{2};]

[;x_2 = x_0 + v_0\times \epsilon + \frac{a\times \epsilon^2}{2} + v_0\times \epsilon + \frac{a\times\{3\}\epsilon^2}{2};]

[;x_2 = x_0 + v_0\times(2\epsilon) + \frac{a\times \epsilon^2}{2}\times \{1 + 3\};]

El segundo término parece que para el caso [;n;] será [;(n\epsilon);]. Es un poco más dificil de adivinar el último término que es la suma de los números impares.


[;1 + 3 + \dots + 2j +1 = \Sigma_{k=0}^j \{2k +1\};]

Veamos unos casos, escojamos el patrón, y demostrémoslo con inducción matemática.

[;1 + 3 = 4;] , [;1 + 3 + 5 = 9;], [;1 + 3 + 5 + 7 = 16;], [;\dots;], [;1 + 3 + \dots + 2k +1 = (k + 1)^2;]

Inducción matemática

Ya están terminados los pasos [;1;] y [;2;].

El último paso es obtener la fórmula para [;k + 1;] suponiendo que el caso [;k;] es correcto.

Para eso es suficiente sustituir el nuevo término a ambos lados de la última expresión.

[;1 + 3 + \dots + 2k + 1 + 2(k + 1) + 1 = (k + 1)^2 + 2(k + 1) + 1;]


Pero, [; (k + 1)^2 + 2(k + 1) + 1 = (k + 1 + 1)^2;]. Q.E.D.

Tenemos pues la expresión final:

[;x_n = x_0 + v_0\times (n\epsilon) + \frac{a\times \epsilon^2}{2}(n - 1 + 1)^2;]

Es decir:

[;x_n = x_0 + v_0\times(n\epsilon) + \frac{a\times (n\epsilon)^2}{2};]

Podemos tomar [;n \rightarrow \infty, \epsilon \rightarrow 0, t = n\epsilon;]. El tiempo no es infinito, ni cero, tiene un valor finito; sin embargo pueden ver que si dejan el producto [;n\epsilon;] fijo, pueden tomar [;n;]s tan grandes y [;\epsilon;]s tan chiquitas como quieran.

Este resultado es exacto, también lo ṕodemos escribir como sigue:

[;x(t) = x(0) + v(0)t +\frac{1}{2}a t^2;]

Se puede recordar facilmente este resultado si consideran el caso [;v(0) = 0;], es decir como dice Galileo ``un cuerpo que empieza del reposo,'' y si medimos la posición desde el punto donde se empieza a acelerar, o sea. [;x(0) = 0;].

[;x(t) = \frac{1}{2}a t^2;]

La gráfica de [;v(t);] es una línea recta con pendiente [;a;]. El área del triángulo correspondiente es [;\frac{b\times h}{2};] . La base es [;t;], y la altura ([;h;]) es [;a t;].

De los cursos de cálculo que tomaron en la prepa, ya saben que el área es la integral, y que la integral de [;t;], es [;\frac{t^2}{2};]. Una razón por la que prefiero este enfoque es que en ocasiones se aprenden los resultados de memoria y no saben los conceptos, aunque vean las gráficas. El Dr. Dolores ha hecho estudios en el salón de clase, y con exámenes de conceptos, y encuentra un énfasis en las fórmulas, y cómo se usan, y menos en ¿qué significan?

Otra razón, es que el método de las diferencias finitas es general; es decir en principio ya saben integrar cualquier problema cinemático, lineal o no lineal. En la actualidad se está estudiando el Sistema Solar, con una variedad de naves espaciales, que varios países han puesto en órbita. Además el Gobierno Mexicano, aprobó La Agencia Espacial Mexicana.

En tiempos de Newton y Leibniz, se conocían las diferencias finitas, pero no eran prácticas. La situación es diferente en la actualidad.


Posted by Eduardo Cantoral at 4:28 PM

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