Aceleración Constante

El segundo problema cinemático de Mecánica Discreta, es la descripción del movimiento con aceleración constante.

Matemáticamente tenemos a la velocidad de la nota anterior.



Dada la constancia de , no fue necesario escoger con cuidado el índice. Ahora sí es necesario pues esta cantidad cambia. ¿Qué velocidad usamos, la primera , o la segunda ?

Antes de considerar éso; defino la aceleración. Pues esta es constante en este caso.



La velocidad mide el cambio de posición, también llamado desplazamiento; a su vez la aceleración mide el cambio de velocidad, al que no se le asigna nombre. Sin embargo los comentarios anteriores son aplicables. Cuando la aceleración es positiva, , y en caso contrario. Siempre consideramos que no podemos movernos al pasado, el denominador en ésta, y en la expresión de la nota anterior, siempre es positivo.

El problema de valor inicial planteado aquí se puede escribir así:

Problema

Conocida la velocidad inicial , el intervalo mínimo de tiempo , el valor de , y la aceleración , encontrar la velocidad final .


Las fórmulas que aparecen en este caso se pueden obtener de las de la nota anterior, si hacemos las sustituciones; , y .

La solución es pues:

.

Pasemos al problema no trivial de calcular ahora la posición final, dada la posición inicial , la velocidad inicial , la aceleración , y el tiempo final .

Ahora introduzco una idea que se le ocurrió inicialmente a Galileo.

La Figura 1, representa la velocidad aumentando linealmente. Podemos leer del libro de Galileo traducido al inglés, en la página 173.

``THEOREM I, PROPOSITION I

The time in which any space is traversed by a body starting from rest and uniformly accelerated is equal to the time in which that same space would be traversed by the same body moving at a uniform speed whose value is the mean of the highest speed and the speed just before acceleration began.''


Teorema I, Proposición I

El tiempo en el cual cualquier espacio es atravesado por un cuerpo que empieza del reposo y está acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio sería atravesado por el mismo cuerpo moviéndose a una rapidez uniforme cuyo valor es el promedio de la rapidez mayor y la rapidez justo antes que empezara la aceleración.

Antes de dar un argumento para explicar lo escrito por Galileo consideren ésto:

Primero: Algo de nomenclatura; rapidez es el tamaño de la velocidad. Aceleración uniforme es; cambios de velocidad iguales en tiempos iguales.

Segundo: Galileo se imagina otro movimiento, que guiará su pensamiento. Lo pienso como la respuesta a la siguiente pregunta. ¿Cómo recorre el cuerpo la misma distancia en el mismo tiempo a velocidad uniforme?

Galileo demuestra que el cuerpo se mueve con la velocidad promedio de este movimiento. La velocidad promedio para el movimiento uniformemente acelerado es:



Hay dos problemas fundamentales en el Cálculo. Estos problemas son geométricos, y han preocupado a los matemáticos y filósofos anteriores. Dada una figura calcular el área, y dada una curva calcular su inclinación. Más adelante escribo la relación entre estas ideas; por lo pronto, escribo sobre la geometría de la nota anterior.

La presentación ahí es algebraica, no geométrica. Al final con ayuda de Gnumeric presento la gráfica de la posición en función del tiempo. Si los estudiantes no saben usar una hoja de cálculo, en otra ocasión veremos los detalles. Por lo pronto quiero resaltar un aspecto geométrico. La gráfica posición v.s. tiempo codifica a la velocidad de una manera fundamental para el Cálculo. En este caso la gráfica resultó una línea recta. Una característica importante de la recta es su inclinación. Si trazamos una línea perpendicular a , a la derecha de donde la línea se encuentra con esa línea horizontal , obtenemos un triángulo recto. La hipotenusa es la línea; llamémosla , que obtuve con Gnumeric. Los catetos horizontal y vertical, están en relación constante. Llamemos al horizontal corrida , y al vertical subida . Imagínense, que corren a la derecha, y suben hacia arriba. El cociente indica que tan difícil es subir. Si , se cansa uno más. Si , entonces se cansa uno menos. El ángulo entre la línea y , mide esa dificultad. Para el caso que la hipotenusa es , a se le llama , y a , . Seno y coseno, de respectivamente. El cociente que mide que tanto se cansa uno al subir esa colina, o rampa, se llama tangente: .

La tangente de la gráfica v.s. es numéricamente igual a . Dada la semejanza de todos los triángulos que se pueden dibujar como indiqué arriba, aunque el tamaño de la hipotenusa no sea , la razón es constante. Se cansa uno lo mismo en subir cada pedazo de la rampa. Para cada corrida , la subida es la misma.

Regresemos al problema de Galileo. Antes de mostrarlo geométricamente, prefiero dar otra metáfora. Aquiles y la tortuga. De Wikipedia tenemos:

``Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.''

Zenón lo pensó como un argumento contra los filósofos enemigos de Parménides, al que él apreciaba.

Mi razón para escribir sobre la carrera, es que se imaginen a Aquiles moviéndose con aceleración uniforme, y a la tortuga con velocidad uniforme. Para explicar el Teorema de Galileo, consideren que la tortuga se mueve con una velocidad igual a la velocidad promedio de Aquiles.

Inicialmente Aquiles está en reposo, y la tortuga avanza, por lo tanto la distancia recorrida por Aquiles es menor. En un instante Aquiles ya se mueve a la misma velocidad que la tortuga, pero aún no ha recorrido la misma distancia. La situación que me interesa es que la distancia recorrida por los dos es la misma al final de la carrera. Es decir que empaten. Como dice Galileo, recorre la misma distancia en el mismo tiempo, pero Aquiles acelerado, y la tortuga a velocidad constante.

Este problema lo resuelvo primero geométricamente y después algebraicamente, a diferencia del de la nota anterior. Galileo, igual que Newton después en ese siglo XVII, usaba argumentos geométricos principalmente, Galileo no tenía Geometría Analítica,; Newton sí, pero no tenía computadoras.


Consideremos el área de la gráfica v.s. . Como en la Fig. 1. Primero el caso de la tortuga que es más sencillo. A diferencia de la convención en los textos actuales, Galileo tiene al tiempo verticalmente, y a la velocidad horizontalmente. Para la Teoría de la Relatividad de Einstein, curiosamente se usa la convención de Galileo, para las gráficas v.s. ; sin embargo no creo que haya habido intención de los autores del siglo XX, de regresar a la convención del XVII.

La línea de la tortuga es . El principio está en . El tiempo pues, avanza hacia abajo de la figura. Para el caso de velocidad constante, podemos escribir la sencilla relación:



Velocidad es igual a distancia sobre tiempo. Por ejemplo en un sistema de unidades adecuado para una tortuga. No esperamos que la tortuga recorra kilómetros en un segundo, ni siquiera Aquiles.

De la relación dada, podemos despejar la distancia recorrida.



Por otro lado, si multiplicamos , donde uso la convención de que las letras con la barra arriba se refieren al valor con unidades físicas. En este caso; se mide en , y en ; obtenemos la distancia recorrida en . Así el área bajo (aquí más bien es a la derecha de la gráfica) una gráfica de v.s. es la distancia recorrida.

La cuestión es ahora saber ¿qué distancia recorrió Aquiles?; este es el problema más dificil de los dos. Queremos saber cuál es el área a la derecha de la línea inclinada . El estudiante agudo se preguntará si el área es siempre la distancia recorrida, o sólo para el caso de velocidad constante. Durante el curso espero ampliar la discusión, si los estudiantes lo solicitan, pero ese es el punto esencial del Cálculo infinitesimal. Por lo pronto invito al lector a que se imagine otra curva hecha de trozos cada ves más pequeños, de líneas verticales, que se acerquen tanto como quieran a la línea inclinada , la que representa la variación en el tiempo de la velocida de Aquiles.

Sucede que el área a la derecha de la línea a trozos que les pedí que se imaginaran, si se acerca tanto como quieran al área a la derecha de la línea considerada aquí. Para los curiosos, la longitud de ese polígono aproximante nunca es igual a la longitud de la línea . Afortunadamete esa longitud no representa una cantidad física en este problema. Esa línea poligonal, representa una curva fractal.

Ahora termino de mostrar que la distancia recorrida a velocidad constante por la tortuga, sí es igual, a la distancia recorrida por Aquiles, siempre y cuando sea igual a la velocidad promedio de Aquiles.

El argumento geométrico consiste en indicar que la distancia de menos, correspondiente al área del triángulo , es igual a la distancia de más, correspondiente al área del triángulo . Puesto que la línea es común a los dos triángulos, forma un ángulo de la misma medida en los ángulos opuestos por el vértice así formados. Por la definición de velocidad promedio, el punto , está a la mitad de la línea . De esta forma tenemos , por lo que tienen la misma área. Q.E.D.

Esta figura es de un caso especial.