Lo bueno de empezar una área del conocimiento es que el nombre de uno aparece en cuestiones fundamentales. En este caso, de la segunda liga de Wikipedia del párrafo anterior podemos leer:
``La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento
![[;\delta;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_snZWAJcys4lsCaEEiIKp2ln1aI52aseou0BqnpQHXp5H3H8TauIqQ6mVtdRSQbsSInSRsLxxzkjTdTcUElfWp2CnuLRSIi3DQ20B9axQ=s0-d "\delta")
producido:Aquí doy la cinemática, y más adelante en dinámica, veremos ¿qué representa la fuerza, y porqué esta relación se satisface en muchos casos?''
Cinemáticamente, es decir matemáticamente, nos interesa conocer la posición de un cuerpo, cuya aceleración es conocida, no en función del tiempo, sino de la posición misma. Sucede que este problema se puede resolver exactamente con diferencias finitas, y por eso lo pongo aquí.
Del problema de aceleración constante presentado antes, vimos que si la velocidad varía linealmente se puede sustituir esa variación por la velocidad promedio.
![[;\bar v_n = \frac{v_{n+1} + v_n}{2};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_v5ZRX0uGGIjqYLpLqIPIWlShAlxtPSd7HpMScstmRjyKt0MaD0oozOcuXZeEkZFF3VqjS8ssuketUtXqBJjoxwjtJlEeB1Pu4xLcS3EZEZ-zZ9DBHGC4Uig-7Jra-GxlIMj_HZUtmQ2yFdJ4VbhBZqtd69Q8Anzw=s0-d "\bar v_n = \frac{v_{n+1} + v_n}{2}")
Poniendo atención en ésto; vemos que es la matemática de la variación la que nos lleva a una situación en que la sustitución de una constante en lugar de una variable no produce errores de cálculo. En pocas palabras, lo que corre de menos Aquiles al principio de la carrera, exactamente lo corre de más al final.
Según Hooke, la aceleración varía linealmente con la posición. Con esta observación empírica, obtenemos el siguiente problema en una dimensión.
En lugar de:
![[;a_n = -k x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udz7nw6IS31t1ucYTXUa2sMOVh3sI76JcVZZCpe4nYrVlP-a2dOnYMM5OOeSCEFjf_UeR1loHAR7yjy-jLrTETyMrj6oVj4Sga0zxRKbchEpg=s0-d "a_n = -k x_n")
se puede obtener una solución exacta con:
![[;a_n = -k \bar x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tmjBhOmBKRgbaKnBIhI2bO6bsGZOffO46Xcp4dzZqRL_tzAlJ0q13CJW-409oSqPX31pY1iY9ewVGdG8HrfOvJdW02cH7yCMO1mU-S8_n-1_OPhumdvi4C=s0-d "a_n = -k \bar x_n")
Donde:
![[;\bar x_n = \frac{x_{n+1} + x_n}{2};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vzLwspb2kwdqZvQx5Qq1u4hDi-aBkBspWIV1xbuE0tGjlRII_H3qdcU09nM8OV4bRt3MdCuFSZDJbsM7q_CSmE8D1VgJSlGEDTc-8SefeeHZeKBOfYd_tUzG4h57YOwv6E-rAUtNny_AYtYNRLeVQGTYV0CUDOEg=s0-d "\bar x_n = \frac{x_{n+1} + x_n}{2}")
Con la definición cinemática de aceleración, y la ecuación anterior, podemos plantear y resolver el problema del oscilador armónico exactamente en diferencias finitas.
![[;\bar v_n = \frac{x_{n+1} - x_n}{t_{n+1} - t_n};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vNVY6c3WSo4yjPa6fGAedLmdX5KwwGT9Lj5p0aKm013H_MILILDkFKrxF2GROkBwTXNIJDq0SliNJbc3qNK5ab6ZtADIc_MfBtExrEntfhY621pJwaQK_dCjuZ9IehmUjUMXITefgGJAPMPA3KCUkQiZQJ0sZ3zVCFFzDWDeVhnAYJ3gUSgoM=s0-d "\bar v_n = \frac{x_{n+1} - x_n}{t_{n+1} - t_n}")
Queda un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas recursivo. Usaremos matrices de dos dimensiones para despejar la velocidad y la posición en el tiempo
![[;(n+1)\epsilon;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uNa4kzXFrhiIcooSN26sNUd1f8hEKxnkgMgOeUQwIiQ6RRkVAikNYsLbOrZlatx6BpLda3M3D7VZVbugE5_UIGmzYrQrOk5Osurj5QoOI8ykEffx8=s0-d "(n+1)\epsilon")
, en función de la velocidad y la posición en ![[;n\epsilon;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sjg5KPzs2oASb_CGcqaOM-38bGW9s4DxTvH3FGt2ZonHB4k0RO14NnAP3XY0t_KcJudVDAMu4iJcPl14q55JQNQRnS09pzYrLW5YsuXteG6A=s0-d "n\epsilon")
, en la siguiente nota.Para no complicar la presentación tomo el caso de
![[;k = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uVsW_vsP1KeMSnxgSToiIU2q9fb1cBMoK9Qqfu_2UNlHPwdpkNQMJeaBsda5fTYFuq7afT0xYGptkbMk8MepcA9G798Bq-pwcp4A=s0-d "k = 1")
, y ![[;m = 1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uQoneQxWKR2e6aj77hc16qL-zYTzEOZl2GvwgG-wtPFetsVmSX4LcERIivnglAHTiUrekrUI_iPZChEgOZzq8Fm9wHaKvvTkj1=s0-d "m = 1")
. Así tenemos:![[;\frac{v_{n+1} + v_n}{2}\times \epsilon = x_{n+1} - x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sxvV7gnAByqdE7hXfqDttNLuea03qSNxHXx4APBJZZ5QjjU_V6Jl4qQMqAFpEZQTF5WhD8LJwAUf685etmXwAOVrJL3DtHVMgQsRcxVkiihQ2sVv1VH1xUa9o3o61eVsPY-hY9Jugnt0QdDDf4eYMda2Rx_xmRGNQP3nqnM0UKb5_Kf5f25TAHT9bt2ZN3_xpX=s0-d "\frac{v_{n+1} + v_n}{2}\times \epsilon = x_{n+1} - x_n")
![[;v_{n+1} - v_n = - \frac{x_{n+1} + x_n}{2}\times \epsilon;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tAnFZuJtYSUeaG-5CwzUVXCanMTKmUEJa1NYwu2hOQkKvtPXQZ7Nc60qYVvVITVG1ZCnEYrXGXLsl_g6BDnI6mTPf1r4xYmUZQhFs620MsxwpIOCyX2MEyrJg8UiRz5QXOS_OG-kyXu4dbHn24QaEMA2j8g20SBHu6z5ZXZEDsfQBUsDi1urH-9m9c5_hGUKgeAHc=s0-d "v_{n+1} - v_n = - \frac{x_{n+1} + x_n}{2}\times \epsilon")
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