El Mundo de Beakman

Matriz

Hoja de Cálculo

Hoja de Cálculo

$v_n$

$v_n$

The Lick-Carnegie Exoplanet Survey: A Uranus-mass Fourth Planet for GJ 876 in an Extrasolar Laplace Configuration

(Abreviated) Continued radial velocity monitoring of the nearby M4V red dwarf star GJ~876 with Keck/HIRES has revealed the presence of a Uranus-mass fourth planetary companion in the system. The new planet has a mean period of $P_e=126.6$ days (over the 12.6-year baseline of the radial velocity observations), and a minimum mass of $m_e\sin{i_e}=12.9\pm 1.7\,M_{\oplus}$. Self-consistent, N-body fits to the radial velocity data set show that the four-planet system has an invariable plane with an inclination relative to the plane of the sky of $i=59.5^{\circ}$. The fit is not significantly improved by the introduction of a mutual inclination between the planets ``b'' and ``c,'' but the new data do confirm a non-zero eccentricity, $e_d=0.207\pm0.055$ for the innermost planet, ``d.'' In our best-fit coplanar model, the mass of the new component is $m_e=14.6\pm1.7\,M_{\oplus}$. Our best-fitting model places the new planet in a 3-body resonance with the previously known giant planets (which have mean periods of $P_c=30.4$ and $P_b=61.1$ days). The critical argument, $\varphi_{\rm Laplace}=\lambda_c-3\lambda_b+2\lambda_e$, for the Laplace resonance librates with an amplitude of $\Delta\varphi_{\rm Laplace}=40\pm13^{\circ}$ about $\varphi_{\rm Laplace}=0^{\circ}$. Numerical integration indicates that the four-planet system is stable for at least a billion years (at least for the coplanar cases). This resonant configuration of three giant planets orbiting an M-dwarf primary differs from the well-known Laplace configuration of the three inner Galilean satellites of Jupiter, which are executing very small librations about $\varphi_{\rm Laplace}=180^{\circ}$, and which never experience triple conjunctions. The GJ~876 system, by contrast, comes close to a triple conjunction between the outer three planets once per every orbit of the outer planet, ``e.''

Tomado de arXiv

d. El Histórico Camuflaje de Ideas en la Notación de Leibniz

``d. The Epdochal Camouflage of Ideas in Leibniz' Notation.


The designation of antiderivatives as indefinite integrals and of derivatives as differential quotients has had two important consequences.

On the one hand, that notation camouflages the fundamental result of calculus and ( as will be seen in Chapter VIII) some difficult operations on derivatives as truisms. In past centuries, undoubtedly, this very camouflage secured the basic ideas of calculus acceptance by many who would have shunned a method obviously surpassing their understanding. Without the protection of a plausible appearance, those great ideas might not even have survived - just as some bright butterflies would perish if, with folded wings, they did not assume the appearance of inconspicuous leaves.

On the other hand, the traditional notation has made it difficult to understand calculus. The symbol $$\int_a^b f(x) dx$$, while objectionable on account of its dummy part, is at least reminiscent of the sums  of products as whose limit the integral is defined. The symbol $$\int f(x) dx$$, however, not only fails to remind one of the inverse of derivation - the operation he has to perform - but strongly suggests sums of products (the same sums of which the integral is reminiscent) with which the antiderivative concept has absolutely nothing to do.

The traditional symbols, introduced essentially by Leibniz, make it hard to distinguish definitions from theorems, technical difficulties from profound problems, and minor results from tremendous discoveries.

All in all, Leibniz' notation accounts for what, from a sociological point of view, are the two most striking facts in the history of calculus: that for centuries the use  of that great theory has been enormously wide, and that even today its use is often mechanical.''

Antes de leer la traducción lean la liga a Camuflaje Militar. 

Antes de traducir doy un resumen:

El Prof. Menger nota que la notación para las integrales indefinidas usadas hasta ahora en todo el mundo es mala. El símbolo $\int f(x) dx$ no nos orienta para las operaciones que realmente hacemos cuando buscamos la función cuya derivada es $f(x)$. Además habla de un camuflaje; cree Menger, que Newton y Leibniz fueron conscientes que la mayoría de sus contemporáneos no los entendían, por lo que decidieron enseñar a sacar derivadas e integrales de memoria, y no a que comprendieran los conceptos. Esta situación no es muy diferente a la de la enseñanza de la Aritmética en la primaria; la intención de los docentes no es que los niños aprendan los conceptos, el objetivo con esos imberbes niños es que se memoricen el algoritmo, sin siquiera entender por qué es correcto. Ahora sí la traducción es ésta:

d. El Histórico Camuflaje de Ideas en la Notación de Leibniz

La designación de primitivas como integrales indefinidas y de las derivados como cocientes diferenciales ha tenido dos consecuencias importantes.

Por un lado, esa notación camuflea el resultado fundamental del cálculo y (como se verá en el capítulo VIII) algunas operaciones difíciles en derivadas como verdades sin necesidad de demostración. En siglos pasados, sin lugar a dudas, este camuflaje  aseguró la aceptación de las ideas básicas del cálculo por muchos que hubieran rechazado un método, que obviamente superaba la comprensión de su parte. Sin la protección de una apariencia verosímil, las grandes ideas, incluso podrían no haber sobrevivido - así como algunas mariposas brillantes perecerían si, con las alas plegadas,  no asumieran la apariencia de las hojas de las plantas.

Por otra parte, la notación tradicional ha hecho difícil  entender el cálculo. El símbolo    , aunque objetable por el uso de variables mudas, al menos recuerda los límites de las sumas de productos con los cuales se define la integral. El símbolo  , sin embargo, no sólo falla en recordarnos la inversa de la derivada - la operación que uno tiene que hacer - sino además sugiere fuertemente sumas de productos (las mismas sumas que nos recuerda la integral ), con lo cual el concepto de antiderivada no tiene absolutamente nada que ver.

Los símbolos tradicionales, introducidos esencialmente por Leibniz, hacen que sea difícil distinguir entre definiciones y teoremas, dificultades técnicas con problemas profundos, y resultados menores de  descubrimientos tremendos.

En definitiva, la notación de Leibniz nos presenta lo que, desde un punto de vista sociológico, son los dos hechos más sorprendentes en la historia del cálculo: de que por siglos el uso de esa gran teoría ha sido muy amplia, y que aún hoy en día su uso es a menudo meramente mecánico''.

Movimiento de dos Cuerpos

Tomado de arXiv

``1. INTRODUCTION

The motion of a planet around a star can be understood in the context of the two-body problem, where two bodies exert a mutual gravitational effect on each other. The solution to the problem was first presented by Isaac Newton (1687) in his Principia. He was able to show that the observed elliptical path of a planet and the empirical laws of planetary motion derived by Kepler (1609, 1619) were a natural consequence of an inverse square law of force acting between a planet and the Sun. According to Newton’s universal law of gravitation, the magnitude of the force between any two masses $m_1$ and $m_2$ separated by a distance $r$ is given by

$F = G \frac{m_1m_2}{ r^2}$  (1)

where $G = 6.67260 \times 10^{-11}Nm^2 kg^{-2}$ is the universal gravitational constant. The law is applicable in a wide variety of circumstances. For example, the two bodies could be a moon orbiting a planet or a planet orbiting a star. Newton’s achievement was to show that motion in an ellipse is the natural consequence of such a law.''

Antiderivada

``Nothing illustrates Leibniz' influence on the development of calculus as strikingly as the prevalence for over a quarter of a millennium of the symbol

$\int f(x) dx$ in the treatment of antiderivatives.''

Tomado  de la p. 156 del libro de Menger.

Traducción:

Nada ilustra la influencia de Leibniz en el desarrollo del cálculo tanto como la prevalencia por más de un cuarto de un milenio del símbolo

$\int f(x) dx$ en el tratamiento de las antiderivadas.''

Hoy Pasaron Dos Asteroides Cerca de la Tierra

National Geographic

¡Apenas los descubrieron el domingo!

Satélites de Saturno

Scientific American

Leyes de Newton

Estructura de la Materia

Hay algo a lo que le podemos llamar el Zoológico de las Partículas. Les muestro aquí un lugar que mantiene la Fundación Nobel sobre la Estructura de la Materia.

Tarea

Hoy hablamos de sistemas de unidades: Unidad de Medida.

Usando el método de análisis dimensional, calcule el valor de la longitud de Planck, tiempo de Planck, y la masa de Planck.

Definición de Integral

En la página 141 del libro de Cálculo de Karl Menger tenemos:

(14) $\int_a^b f = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\cdot [f(a + \frac{d}{2}) + f(a +3 \frac{d}{2}) + \dots +f(a + (2n -1)\frac{d}{2})]\cdot(b - a)$

donde $d = (b -a)/n$

Por lo pronto a las 7:00 AM

Los que vayan a participar en esta actividad nos vemos mañana temprano.

Fractales en el Libro de Karl Menger

Cuando conocí los fractales por primera vez en 1981, en el Museo de la Ciencia de Boston. Primero me alegré por saber algo nuevo, luego me molestó que nadie en México se hubiere tomado la molestia de decirme algo al respecto, y finalmente me sentí obligado a decirlo al mayor número de estudiantes posibles.

Aquí pongo mi granito de arena.

Resulta que el Prof. Menger ya para 1955 tenía publicado el libro de Cálculo, para un amplio público, del que he escrito aquí. Tomaré una sección de la página 134.

``En base a su experiencia con funciones elementales, los matemáticos pensaron originalmente que toda función continua $f$ tenía una derivada $\textbf{D} f $x para la mayoría de los números x que pertenecen al Dom $f$ - en lenguaje geométrico, que los puntos donde una curva continua no tiene tangente son excepcionales. Hasta existen pruebas incorrectas de esta aseveración (Ampère, 1806). Bolzano construyó una curva continua sin tangente en todos los punto pero nunca publicó este gran resultado. En los 1870s, Weierstrass definió a las funciones continuas  sin derivada en todos lados sumando un número infinito de curvas coseno cada una con una frecuencia mayor  pero una amplitud menor, que la curva anterior. Uno de sus ejemplos es

$\frac{1}{2}\cos (13 \pi j) + \frac{1}{2^2}\cos (13^2 \pi j) + \frac{1}{2^3}\cos (13^3 \pi j) + \dots + \frac{1}{2^n}\cos (13^n \pi j) + \dots$

En el intervalo entre $0$ y $1$, sobre las $13$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{2}$, Weierstrass superimpone primero $13^2$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{4}$, después $13^3$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{8}$, y así sucesivamente. El resultado para cada superposición es una curva que tiene una tangente en cada punto pero es, como se dijera, más temblorosa que la curva precedente. Se puede mostrar que el límite de las curvas así obtenidas es la gráfica de una función que es continua en todos lados sin tener una derivada en todos los puntos.''

La única otra referencia de esas fechas, a una situación así,  la leí en un artículo de Richard P. Feynman de 1949.

Ni Menger ni Feynman llaman a esas figuras fractales. Pero así las bautizó Mandelbrot  en los 1970s. La diferencia con Menger es que lo pusó en un libro de texto, y Feynman en un artículo con ideas originales.

El Límite

Karl Menger escribe casi la tercera parte de su libro sin definir límite. Los primeros capítulos se refieren a un álgebra de funciones lineales; verticales y horizontales. Con esas resuelve el problema del cálculo que define en la página 1.

Todo el libro está escrito con precisión conceptual, tocando tres aspectos del concepto de variable.

     I. Variables según Weierstrass, llamadas aquí variables numéricas, como $x$ e $y$ en

(1) $x^2 - 9 y^2 = (x + 3y)\cdot (x - 3y)$ para cualquiera dos números $x$ e $y$

     II. Variables o cantidades variables en el sentido en el cuál los científicos usan estos términos; por ejemplo, $t$, el tiempo; $s$, la distancia recorrida (en unidades escogidas); $x$ e $y$, la abcisa y ordenada en un plano físico o postulado (relativo a sistemas escogidos de referencia); etc.

...

(2) $s = 16t^2$.

...

    III. Variables en el sentido de $u$ y $w$ en aseveraciones como 

(3) Si $w = 16 u^2$, entonces $\frac{dw}{du} = 32 u$ para cualquiera dos fluentes, $u$ y $w$.

Menger distingue con distinto font los símbolos que usará en el libro. No he intentado escribirlo en $\LaTeX$, pues distingue entre números en cursiva 6 , y números en romana 6. Sin embargo si quiero expresar la opinión de que en 1955, Merger se adelantó a las preocupaciones de los matemáticos al automatizar el cálculo numérico.

Gnuplot

Sesión de gnuplot para hacer la gráfica que está abajo.

Mecánica y Medallas Fields

Hasta donde entiendo, todas las medallas Fields dadas esta semana en Hyderabad están relacionadas con ideas mecánicas.

Pueden leer aquí.

Área Bajo la Curva con gnuplot

Figura hecha con ayuda de Enrique García Reyes.

Horario

La Mtra. Flor Montserrat Rodríguez Vásquez asignó el siguiente horario al curso de Mecánica Clásica.

Como Optativa I

Lunes 10:20AM - 12:50PM
Miércoles 12:00 - 13:40 PM

Como Optativa II

Martes 12:50 - 14:30 PM
Jueves 12:00 14:30 PM

Area Bajo Una Curva

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Area Bajo Una Curva

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Área Bajo la Curva

Tomado de Teacher's Choice

Capítulo 1: Cálculo; por Karl Menger

$\textsc{Los dos problemas b}$Á$\textsc{sicos del C}$Á$\textsc{lculo y sus soluciones para l}$Í$\textsc{neas rectas}$.

En la figura aparece una línea horizontal $O$ y una curva simple $f$. Se dice que una curva es simple si no intersecta a ninguna línea vertical (i.e., ninguna línea perpendicular a $O$) en más de un punto. La letra S no es una curva simple - un hecho ilustrado por cualquier signo $; tampoco un círculo. La mitad de arriba y la mitad de abajo de un círculo, tomadas por separado, son curvas simples.

Se han escogido sobre la línea $O$, un punto 0 y un punto 1. El segmento entre ellas se llama una unidad lineal. El punto que está 2  (o cualquier número, a) unidades a la derecha de 0 se llama el punto 2 (el punto a). Las distancias verticales se miden en la unidad lineal entre 0 y 1 giradas un ángulo recto; las áreas, en unidades cuadradas como la marcada sobre el segmento de 0 a 1.

Física para Animación

Notación

Los libros de Cálculo tienen esta estructura general:

1. Sucesiones y Series
2. Funciones
3. Cálculo Diferencial
4. Cálculo Integral de una Variable

 Tomado de ``Introducción al Cálculo'' de Kazimierz Kuratowski, que escribió la primera edición en polaco en 1946.

El Prof. Kuratowski escribe:

Este libro contiene las notas de clase de cálculo diferencial e integral, que he impartido durante muchos años en la Universidad de Varsovia.

``This book contains notes of lectures on differential and integral calculus, prepared for publication, which I have held for many years in the University of Warsaw.''

Los autores enfatizan las funciones; obteniéndose entonces una secuencia en la matemática escolar como sigue:

1. Números
2. Variables
3. Funciones

La notación de las funciones muchas veces es $f(x)$. Cuando uno estudia matemática  superior, está tan acostumbrado a la notación, como al hecho por ejemplo que en todo el mundo se usan los símbolos árabes para los números: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, y $0$.

Para el cálculo también se usa la notación de Liebniz: $\frac{dy}{dx}$, etc., etc.; es claro que la cultura matemática es la gran tirana.

No cambiaré la notación de funciones, ya que ni el Prof. Karl Menger, fue capaz de hacerlo en los Estados Unidos, en la década de los cuarenta del siglo pasado. Es suficiente para mi espíritu rebelde, que Microsoft esté teniendo problemas en vender Microsoft Office a los gobiernos de la Unión Europea.

Sin embargo, sí enfatizaré, los principios de buen pensar que introdujo Menger en su libro, $\textsc{Calculus: A Modern Approach}$. Antes que muchos notó que la automatización de la matemática requería una atención mayor a la notación.

Conclusión

Si Newton y Leibniz hubieran tenido Gnumeric de Miguel de Icaza, la Historia sería diferente. Así como la ontogenía; es decir la historia particular de cada uno de nosotros, nos ha hecho como somos, unos se llaman Eduardo, y otros Ricardo; si son Cantoral, ya saben quien es el famoso; la Historia no se estudia así. Los profesionistas de esta disciplina no se interesan mucho en preguntas como: ¿Qué hubiera pasado si desde 1959 Raúl Castro, hubiera estado al frente de Cuba en lugar de Fidel?

De cualquier manera desde el punto de vista didáctico, sí nos podemos preguntar: ¿Cuál es la mejor manera de aprender cálculo?

Propongo que el uso de Gnumeric, y las ecuaciones de  diferencias finitas, permiten una manera diferente de enseñar Mecánica, que tiene la ventaja de ser accesible a los estudiantes de menos de 18 años.

Ahora pasamos al libro de Karl Menger; lo que empieza en la siguiente nota.

$$x_n$$ v.s. $$v_n$$ Scatter Plot Gnumeric

Mismos datos presentados como Scatter Plot.

$$v_n$$ con Gnumeric

$$v_n$$, con los mismos valores que abajo.

$$x_n$$ con Gnumeric

$$x_n$$ calculada con $$\epsilon = 0.1$$ , $$x_0 = 1$$, y $$v_0 = 0$$. Se usaron $$n = 180$$ pasos.

Observaciones sobre Matrices del OA

De la nota anterior tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) $$ = $$\left(\begin{array}{c c}\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \\\ frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_n \\x_n \end{array}\right) $$
Sustituyendo:

$$ \sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$ y $$ \cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$

Tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$

Concentrando la atención en la matriz de transormación, tenemos:

$$ \left(\begin{array}{c c}

\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\

\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c}

\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\

\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}

\cos^2 \theta_{\epsilon} -\sin^2 \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} -\sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} \\

\sin \theta_{\epsilon}\cdot \cos \theta_{\epsilon}+\cdot\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} \cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} \end{array}\right)$$

Con las igualdades trigonométricas:

$$\cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} = \cos 2\theta_{\epsilon}$$

y

$$2\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} = \sin 2 \theta_{\epsilon}$$

Podemos escribir el cuadrado de la matriz de transforamción como:

$$ \left(\begin{array}{c c}

\cos 2\theta_{\epsilon} - \sin 2\theta_{\epsilon}\\

\sin 2\theta_{\epsilon} \cos 2\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$

Se puede demostrar por inducción matemática que:

$$ \left(\begin{array}{c c}

\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\

\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)^n = \left(\begin{array}{c c}

\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\

\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$

Concluyendo, si $$w_0$$ y $$\epsilon$$ son dados, entonces la solución buscada es:

$$w_n = \left(\begin{array}{c c}

\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\

\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right) \cdot w_0$$.

Geométricamente el vector de fase gira cada vez que pasa un tiempo discreto $$\epsilon$$, un ángulo $$\theta_\epsilon$$, en el sentido de las manecillas del reloj.

Para recordar este resultado matemático podemos ver que si $$v$$ es positiva, entonces $$x$$ aumenta; en otras palabras un punto en el primer cuadrante se acerca al eje de las abscisas, es decir al eje $$x$$.

Oscilador Armónico: Método de Hamilton

Tomando el hilo desde la nota sobre el punto medio. Tenemos aquí el problema:








Despejar el vector $$\vec {w_{n+1}}$$ , en función de $$\vec {w_n}$$. Se usa la flecha arriba de la letra en otros contextos, tal vez más geométricos. Aquí sólo escribo:

$$w_n = \left(\begin{array}{c}v_n\\x_n \end{array}\right)$$
De las ecuaciones anteriores tenemos:

$$\left(\begin{array}{c c}1 & \frac{\epsilon}{2}\\-\frac{\epsilon}{2}& 1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} v_{n + 1}\\ x_{n + 1}\end{array}\right)$$ =$$\left(\begin{array}{c c} 1 & -\frac{\epsilon}{2}\\\frac{\epsilon}{2}&1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} v_n \\ x_n \end{array}\right)$$
Hay una combinación importante, llamado determinante de la matriz. Las dos que aparecen aquí, tienen el mismo determinante:

$$1 - \frac{\epsilon}{2}\times (-\frac{\epsilon}{2}) = 1 + (\frac{\epsilon}{2})^2$$

Usando la matriz inversa tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \frac{\left(\begin{array}{c c}
1 & -\frac{\epsilon}{2}\\
\frac{\epsilon}{2}&1 \end{array}\right)}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\cdot \left(\begin{array}{c c}
1 & -\frac{\epsilon}{2}\\
\frac{\epsilon}{2}&1 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$

Multiplicando las matrices tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}&\frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\\
\frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}&\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$

Definimos:

$$\sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}$$ y $$\cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}$$

Se puede ver que:

$$\sin^2 \theta_{\epsilon} + \cos^2 \theta_{\epsilon} = 1$$

Antes de seguir adelante anoto lo siguiente:

El problema físico del oscilador armónico (oa); lleva a una estructura geométrica del problema. El espacio de las variables cinemáticas $$v_n$$ y $$x_n$$ es llamado espacio fase. En el caso del oa, puede uno pensar en la fase $$\theta_{\epsilon}$$, aunque el concepto de fase surge también en otras versiones de la mecánica, diferentes a ésta, llamada Hamiltoniana, en honor a William R. Hamilton.

Por lo pronto, el espacio fase es el espacio de la velocidad y la posición. El vector $$w_n$$ localiza las variables cinemáticas de velocidad y posición. Para el movimiento en una dimensión espacial, que estamos estudiando, el espacio fase es de dos dimensiones.

La solución en el esquema de Newton presentado antes se organiza en la solución consecutiva, primero, encontrar v dada a, y segundo encontrar x dada v. En este esquema de Hamilton, la solución se obtiene simultáneamente. $$w_n$$ lleva a $$v_n$$, y a $$x_n$$.

Dado $$w_0$$, y $$\epsilon$$, encontrar $$w_n$$.

Ese es el contenido de la siguiente nota.

Discreto y Continuo

De la entrevista con Núñez, presentada abajo, concluyo que el concepto de tiempo depende del grupo social al que uno pertenece. Además las palabras no son suficientes, también se necesitan figuras, gestos, otros medios de comunicación. El espacio se percibe en paralelo, y el tiempo en serie. Es decir, somos conscientes del tiempo instante a instante, pero aceptamos que aunque no estemos viendo, todos los puntos del espacio existen a la vez.

El cálculo tradicionalmente expresa una intuición nunca verificada: El espacio y el tiempo se representan con números reales $\mathbb R$, que no tienen hoyos. Entre cada dos puntos, no importa que tan próximos, siempre hay una infinidad de otros puntos.

Núñez y Lakoff, demostraron que nuestra mente inventa el infinito. No sólo éso; sino que sólo hay un concepto de Infinito, lo que ellos llamaron la Metáfora Básica del Infinito.

En este curso yo propongo que el mundo real es discreto, pues no tenemos ninguna evidencia de su carácter continuo.

Sin embargo acepto que $\mathbb R$ es un constructo útil, y lo usaré.

Rafael E. Núñez

Enfoque Corporalizado de la Cognición: entrevista a Rafael Núñez

ENTREVISTA DE GACETA DE PSIQUIATRÍA UNIVERSITARIA Enfoque Corporalizado de la Cognición: entrevista a Rafael Núñez (Rev GPU 2008; 4; 2: 171-179) Rafael Núñez es PhD, chileno, y realizó los estudios de pre-grado en psicología en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Es profesor asociado del Departamento de Ciencia Cognitiva de la Universidad de California, San Diego. Su campo principal de investigación es la cognición desde la perspectiva de la mente corporalizada. Se ha interesado en los fenómenos cognitivos de alto nivel, como los sistemas conceptuales, la abstracción, los mecanismos inferenciales, de la manera en que ellos se manifiestan naturalmente a través de amplios mecanismos inconscientes de la actividad cuerpo/mente, como la co-producción de gestos y metáforas conceptuales. Ha enfocado este campo desde perspectivas multidisciplinarias pero interrelacionadas como la cognición matemática, el estudio empírico de los gestos espontáneos, la lingüística cognitiva y estudios de campo acerca de la construcción espacial del tiempo en la cultura andina Aymara. Ha publicado numerosos artículos y libros (ver principales publicaciones al final de la entrevista). Su último libro, Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, en coautoría con el lingüísta de UC Berkeley George Lakoff, presenta un Nuevo marco teórico para la comprensión de la naturaleza humana de las matemáticas y sus fundamentos. Es también director del Laboratorio de Cognición corporalizada en la Universidad de California, dedicado a investigar la forma en que la cognición está fundada en las peculiaridades, experiencias y limitaciones del cuerpo humano.

Gaceta de Psiquiatría Universitaria (GPU): En rasgos generales, su trabajo está enfocado a comprender cómo se genera la abstracción humana. Pero, ¿en qué consiste este problema? ¿Podría usted señalarnos qué aristas principales tiene y qué desafíos implica para la ciencia?

Rafael Núñez (RN): Efectivamente, el tema esencial de mi preocupación es la abstracción, por ponerle una etiqueta congnitiva o mentalista al asunto. Sin embargo, mi inquietud fundamental se relaciona con entender qué es lo que nos hace ser seres humanos. Mi impresión es que el estudio de la abstracción es un área de investigación que permite operacionalizar tal inquietud. Es decir, podemos estudiar la abstracción detalladamente y en muchos ámbitos: de forma experimental, en medios naturales, en las manifestaciones sociales espontáneas, en estudios etnográficos, etcétera. Ahí está su fuerza. Es como decir: ¿qué hace el ser humano que va más allá, que trasciende la experiencia inmediata? Por cierto, en ello juegan un rol la emoción, la memoria, el lenguaje y una serie de otros fenómenos que hacen posible la cultura y la historia. En ese contexto, mi interés es, dicho con otras palabras, comprender cuál es el hecho que hace al humano muy distinto del resto de las formas vivas de animales que existen alrededor.

GPU: Si le entiendo, su interés como investigador es comprender aquello que nos hace seres humanos, y según su percepción, la capacidad de trascender la experiencia inmediata sería un elemento primordial para responder esta pregunta. ¿Nos podría especificar un poco más este problema, en particular, por ejemplo, acerca del rol que jugaría la cultura en los procesos de abstracción?

RN: Hay muchas personas que se interesan en saber qué es lo que hace al ser humano distinto a otros animales. Sin embargo, nuestro enfoque se diferencia, por ejemplo, de la psicología o de la religión, por el compromiso naturalista que tiene. Desde este punto de vista, tratar de entender aquello especial que tiene el ser humano implica, por ejemplo, no incorporar a algún dios (sobrenatural) como elemento explicativo dado de antemano. En el mundo de la explicación científica. Dios no cabe en la ecuación naturalista puesto que no es algo que se pueda operacionalizar para estudiarlo dentro del esquema científico. Y aún si lo aceptásemos, ¿cuál dios (¿o cuáles dioses?) deberíamos considerar? ¿Algún dios monoteísta? ¿o politeísta? ¿o alguna deidad animista? Esas son cuestiones de fe, no de ciencia. El enfoque naturalista sigue las reglas del juego de la ciencia, definiendo, observando los fenómenos y proponiendo hipótesis que sean refutables para poder avanzar. Entonces, exponemos un proyecto que en cierta medida es alternativo, dada su conexión con la biología. Pero aquí, pasando a la segunda pregunta, no se trata de una biología reduccionista, donde todo se reduce a células. Tampoco es estrictamente fisicalista, en el sentido de concebir, por ejemplo, la vida celular como patrones de comportamiento, de mecanismos químicos, reductibles a mecanismos físicos. El estudio de la mente a partir de la abstracción, así como de la emoción humana, es algo que se debe estudiar en un nivel no reduccionista, aun cuando el compromiso sea naturalista. Los fenómenos biológicos no se pueden reducir a niveles químicos o físicos. Por ejemplo, los fenómenos sociológicos y culturales, aun cuando tienen una base animal, una base biológica, no pueden ser comprendidos sólo como un conjunto de operaciones neuronales. Es aquí donde debemos considerar comportamientos complejos, como es el caso del lenguaje, entre otros.

GPU: ¿Cuál diría usted que es efectivamente este nuevo modelo? ¿Qué queda en él del representacionalismo?
RN: Desde mis tiempos como estudiante de doctorado me sentí descontento con los modelos representacionalistas. En esa época, finales de los ochenta y principios de los noventa, había aún una tendencia muy fuerte a entender la mente como un sistema computacional. En términos generales se pensaba en la posibilidad de reducir a reglas algorítmicas los procesos mentales. A pesar de que filósofos y teóricos llevan muchos años discutiéndola, la metáfora de la mente como computador me parece que no funciona, aunque fue un enfoque muy atractivo al momento de la aparición de los primeros computadores digitales. Lo que parece haber ocurrido es que mientras más estudiamos el comportamiento, el cerebro, el sistema nervioso y sus propiedades, y los fenómenos culturales, más sabemos que esa forma de ver la mente humana no es la más apropiada, puesto que deja de lado aspectos muy importantes. Respondiendo a la pregunta, sostengo que el modelo representacionalista implica que, cuando algo es representado, ese algo ya está previamente definido. Justamente como la palabra lo dice, re-presentado equivale a decir que algo vuelve a ser presentado, se presenta por segunda vez, esta vez en versión pequeña dentro de la cabeza. El estudio de la abstracción nos muestra que muchas cosas abstractas no se pueden ver ni tocar, que no existen en ninguna parte, sino que son imaginarias, es decir, creadas. Este es, por ejemplo, el caso de las matemáticas, caso que resulta muy interesante por su altísimo grado de precisión, objetividad y estabilidad, condiciones que, justamente, permiten su estudio. Desde el estudio de la abstracción, el enfoque representacionalista no es el más adecuado. Lo que a mí me interesa estudiar es, precisamente, cómo nace y cómo crece algo, antes de ser re-presentado. Me gustaría saber como es pre-sentado Pienso que la actividad cultural e histórica se relaciona íntimamente con este problema. Desde el punto de vista biológico, aquello que tiene más relevancia en términos genéticos se relaciona con el problema de entender cómo es que con este cuerpo (de primate), que es más o menos el mismo de hace unos ciento ochenta mil años, ahora somos capaces de hacer todas las cosas que implica nuestra actual historia y cultura. Cosas que hace veinte mil años no éramos capaces ni de soñar: el arte, la poesía, las matemáticas y otras similares. Lo que no se entiende bien a este respecto, es qué pasa con ese cuerpo una vez que se inventa la escritura, qué pasa con ese cerebro, que ahora tiene que ser usado para cosas para las cuales nunca fue usado en el pasado evolucionario. Ésos son temas que creo que tenemos que entender mejor: la dinámica entre este animal que somos y todas estas cosas que se van inventando y que se van catalogando en forma histórica y que van formando los contextos en los cuales el individuo se ve inmerso cuando nace. Se trata de un mundo donde se habla de determinada manera, donde se juegan deportes, en el que hay ciencia, tecnología, religión, y arte de gran sofisticación. Me parece que esta dinámica entre el cuerpo milenario y el entorno contemporáneo es esencial para entender mejor al ser humano.

GPU: Entiendo que por ahora no tenemos una definición de lo que usted propone. Un paradigma que uno pueda contraponer al modelo representacional de la cognición. Lo que tenemos por ahora son principalmente nuevas preguntas, nuevos problemas y cuestionamientos que abren una nueva mirada sobre la cognición.
RN: Efectivamente aparecen nuevas preguntas, pero yo no creo que sean tan sólo preguntas. Me parece que además hay implicaciones que redefinen el área de estudio, lo que implica algún tipo de reducción, la propia caracterización de lo que se va a estudiar y la metodología necesaria para su investigación. Digamos que todo esto implica, además, programas de educación, una visión respecto de quiénes se van a formar para estudiar estas cosas, la elaboración de políticas y asignación de recursos, etc. Y en todo esto juegan un rol la filosofía y la política de la ciencia. Por ejemplo, si se define la inteligencia como aquello que mide un test, esto implica la caracterización del problema y su forma de investigarlo. Y si después (por inventar algo) definimos que el test es de elección múltiple, dejamos de lado aspectos como la creatividad, la inteligencia social, etc. Luego, cuando alguien señale que no es posible dejar de lado la creatividad, vendrá otro que diga que “la creatividad es un epifenómeno, que no es esencial y que su estudio debe postergarse para cuando tengamos tiempo, para cuando hayamos avanzado algo en el problema de la inteligencia, en el nodo del asunto”. Así, en diez o veinte años, recién podríamos estudiar la creatividad. Bueno, aquí sucede lo mismo, si uno dice “no, lo que pasa es que la abstracción consiste únicamente en reglas lógicas y nada más”, entonces todo lo que no sea algorítmico, proposicional, discreto y analizable en términos formales, será dejado de lado. Lo que nosotros decimos, es que la mente humana supera inmensamente esas características y que, por lo tanto, es necesario probar otras cosas. ¿Qué pasa con aquella dimensión de la abstracción cotidiana donde no hay proposiciones lógicas? Pensemos por ejemplo en un gesto, un movimiento de la mano que se hace en forma simultánea mientras los ojos se están moviendo hacia un lado y se está diciendo algo. Todo eso está sucediendo en ochenta o cien milisegundos. Bueno, ¿qué es esto? Al cambiar la pregunta, esto impulsa enérgicamente una forma distinta de ver el objeto de estudio, y lanza a la vez algunas preguntas que tienen que ser respondidas, no sólo filosóficamente sino mediante la creación de nuevas metodologías de estudio. Cambiar las preguntas implica cambiar la mirada y la metodología. Entonces, yo creo que no se trata de decir simplemente “ah, lo que había antes no sirve”. El punto está en tratar los asuntos más característicos y esenciales acerca de lo que es la mente humana, usando explicaciones más abarcativas y fundamentales. Buscar, por ejemplo, que los modelos explicativos sean biológicamente plausibles. Esto último es un valor que para muchos teóricos en el pasado no era relevante, puesto que la importancia residía principalmente en que la teoría fuese formalmente caracterizable. Eso se consideraba lo importante. Pienso que cualquier teoría acerca de la inteligencia tiene que ser biológicamente plausible, puesto que la hace más robusta al interior de la ciencia al explicar más fenómenos que la teoría anterior.

GPU: En esta línea, uno de los temas que usted ha estudiado y que abre el espectro de la investigación en Ciencia Cognitiva lo constituyen las metáforas. Leyendo sus publicaciones uno se imagina que ellas constituyen algo así como un puente entre la experiencia corporal y la simbolización. ¿Es eso correcto? ¿Podría explicarnos cuál es la relevancia que tienen las metáforas para la comprensión de la abstracción humana?
RN: Bueno, con esa pregunta hacemos un pequeño zoom, entrando en un área específica del estudio de la abstracción humana y de la conceptualización. El estudio de las metáforas tiene que ver con el cambio de las preguntas del cual hablábamos hace un momento. Se trata, en parte, de darle prioridad a la vida cotidiana en la investigación, en oposición al paradigma del juego del ajedrez que primó como modelo de la inteligencia al comienzo de las ciencias cognitivas. En este sentido resulta muy interesante poder estudiar qué es lo que sucede en el mundo de todos los días, puesto que uno puede constatar, por ejemplo, que muchas áreas técnicas, como la economía, las matemáticas, la física o la química, están repletas de formas metafóricas. Estas formas metafóricas o imaginativas, aun cuando pueden no ser reales en un sentido físico o literal de las palabras, tienen, sin embargo, una precisión sorprendente. Nos ayuda a consolidar cosas con las que a diario funcionamos, como por ejemplo determinadas teorías, sistemas morales u otras. El pensamiento metafórico se vehicula no solamente por palabras, situación que permite que la palabra “cálido” signifique, además de calor, también algo afectivo. Se trata de formas que nos permiten entender algo a partir de algo distinto. Expresiones como “rompamos el hielo” para denotar que deseamos entrar en una conversación más fluida y comprometida, es un ejemplo de lo que digo. En este contexto, palabras diferentes como “hielo” y “cálido” pertenecen al mismo mundo experiencial térmico, donde lo frío y lo gélido, del mismo modo que lo caluroso (como una calurosa bienvenida), tienen una significación que nos habla de carencia o presencia de afectividad. En este sentido nos manejamos con reglas diferenciales, de tal modo que hacemos distinciones tales como “más cálido que” o “más frío que”. Conectando con tu pregunta, uno puede preguntarse si lo metafórico se encuentra basado en la experiencia humana. En el caso anterior, una cuestión interesante es indagar si lo metafórico es producto de la capacidad de percibir diferencias térmicas, y que desde allí nos permite ser capaces de usar esas formas animales de entendimiento para estructurar dominios más abstractos y complejos, como los afectos. Pareciera que en muchas situaciones esto ocurre así, sin embargo, en muchas otras no. Por ejemplo, una de las cosas que a mí me interesa y que observamos en las matemáticas, es que existe una serie de distintas formas de infinitos. Por ejemplo, infinitos actuales, infinitos potenciales, números infinitesimales, números transfinitos, el punto del infinito en geometría proyectiva, etcétera. Sin embargo, el humano no puede por su naturaleza experienciar los infinitos, porque tenemos una vida finita, porque vivimos una cantidad finita de tiempo, y aunque tengamos millones de millones de neuronas, tenemos una cantidad finita de neuronas, y de energía. Queda claro que todo lo que nos da la experiencia es finito. De ahí que sea interesante constatar que uno puede trascender la experiencia y que la metáfora no es sólo una suerte de reformulación de la experiencia sensible. Los sistemas imaginativos y metafóricos hacen posible que uno combine propiedades de cosas que se han experimentado, recreándolas de una forma original que integra mapeos específicos que cristalizan en un dominio que no es experienciable, como el infinito. Se trata de dominios que son generados, que son creados por el humano, utilizando sus mecanismos cognitivos. En suma, nos parece que no todo lo que es metafórico o imaginativo está basado directamente en la experiencia. El infinito es un ejemplo paradigmático.

GPU: Y sin embargo, estas metáforas que de alguna manera escapan a la experiencia directa, tienen de todas formas una influencia en procesos como el desarrollo o el aprendizaje, en la medida que desde que uno nace está inmerso en un contexto cultural que contiene descripciones de este tipo.
RN: Absolutamente, sí.

GPU: Entonces tenemos una bidireccionalidad que muestra una influencia desde la experiencia hacia la creación de la cultura y desde la cultura hacia la cognición.
RN: Ésa es justamente mi forma de ver las cosas. La cognición ha sido, históricamente, entendida como un proceso individual. Si revisamos a los grandes psicólogos, como Freud, Piaget y otros, uno encuentra que la definición del objeto de estudio es siempre individual. Bueno, hay excepciones como en el caso de Jung o de Vygotsky, que no se centraron tanto en el individuo. No obstante, en general, el paradigma en psicología y en ciencias cognitivas sí lo está. Se estudia la motivación del individuo, su sistema nervioso, su memoria, etc., ya sea que se trate de una rata, de una paloma o de una persona. Y en el caso de muchos animales no humanos, la verdad es que lo “cultural” o contextual frecuentemente no resulta relevante. Quiero decir que, respecto a un determinado problema, es muy poca la variación inter-generacional que vemos en una especie de paloma, de hormiga o de abeja, aunque en los dos últimos casos hablemos de especies sociales. Los comportamientos son bastante parecidos aunque los observemos en el 1900 o en el 2008. Dadas ciertas propiedades, por ejemplo, de humedad, temperatura y un cierto tamaño de la población dentro de una colonia de un grupo de abejas u hormigas, observaremos ciertas cosas en forma invariable. En el caso del humano no es así. Todos los años cambian la moda, la música, los estilos de jugar ciertos deportes, etc. O sea, la variación es muchísimo mayor y cambia constantemente. Esto incluye el lenguaje, la gramática, dimensiones que están cambiando en todas las lenguas en este mismo momento; se crean dialectos, se crean jergas de gente, de ciertos grupos sociales, de inmigrantes, etcétera. Es un fenómeno dinámico supra individual y, como tú lo señalas, bidireccional o circular. Alguien que nace y crece en un grupo social está desde el primer día de su nacimiento, e incluso desde antes de nacer, expuesto a cierto tipo de estimulación lingüística, y a ciertos mapeos y metáforas que condicionan su desarrollo y expresión génica. No son sólo palabras, se trata también de gestos. Por ejemplo, pensemos en lo que ocurre a un niño cuya madre dice: “hace mucho tiempo, cuando tú eras pequeño”, y acompaña esta frase con un gesto apuntando hacia atrás sobre su hombro. Bueno, el niño ve aquello y tal vez no lo entienda o no se percate conscientemente de lo que está viendo, pero se trata de un patrón de conducta que comienza a ser parte del mundo en el cual el niño crecerá. En este ejemplo el patrón esta conformado, entre otras cosas, por el gesto, más un cierto tipo de voz y una cierta prosodia, todo lo cual permitirá al niño configurar el sentido de su experiencia. Así, en el futuro sabrá que el futuro esta metafóricamente delante de él y el pasado detrás. Eso no es algo que se aprende en el colegio o en los libros sino que se aprende inmerso en grupos sociales. Más adelante ese individuo lo compartirá con otra persona que también viva inmersa en el mismo contexto, creciendo en el mismo lugar, en el mismo grupo étnico. El grupo mantiene y sustenta estas experiencias, aun cuando también ocurrirán pequeños cambios, como es en el caso de muchos conceptos nuevos que de pronto aparecen y permiten nuevas formas de entendimiento. Lo interesante es que nuestro organismo humano, nuestro sistema nervioso, no está hecho para participar de modo específico en ninguno de estos dominios, digamos culturales. El primate humano que somos no está naturalmente hecho para esquiar o para jugar al tenis o tocar el piano. No: lo que hacemos es reciclar a partir de esta biología del animal primate que somos elementos de nuestro pasado evolutivo. Utilizamos recursos físico-biológicos de una forma muy específica. Cosas como la gravedad, la respuesta a la fatiga, la capacidad de flexión de rodillas, existen, pero no podríamos decir que nuestro organismo fue hecho para jugar al tenis, o que nuestro sistema nervioso evolucionó para jugar al vóleibol. Lo mismo sucede con las matemáticas u otros sistemas de abstracciones. Se trata de cosas que no estaban al principio, que en algún momento inventamos. Sin embargo, ahora estamos en eso. No es que hayamos evolucionado para tener una escritura alfanumérica, por ejemplo, puesto que hay otras culturas que funcionan sobre la base de ideogramas y tienen otras formas de escribir. Incluso, hay culturas que simplemente no tienen escritura. No obstante, todas esas son formas humanas de existir y no hay una que sea mejor que la otra en el sentido puramente biológico. Son distintas dotaciones y distintos nichos o vidas sociales en los cuales nacemos y lo que tenemos que tratar de entender bien, justamente, es esa bidireccionalidad de la cual usted hablaba.

GPU: Para comprender mejor algunos fenómenos como el lenguaje, ustedes señalan que resulta un gran aporte estudiar el rol que juega la gestualidad. La investigación que realizaron con los Aymaras en el norte de Chile así lo muestra. Podría contarnos algo acerca de ese estudio. ¿Cuál es exactamente el aporte que conlleva mirar el rol de la gestualidad en el lenguaje?

RN: Bueno. Hay una característica que se repite en la historia de la ciencia y es que todas las teorías y todos los enfoques en general tienen siempre algo de centrismo. Por ejemplo, cuando la astronomía era aún joven, tenía una posición geocentrista, postulando que la Tierra era el centro del Universo. Pero tenemos muchas otras formas de centrismos, como el antropocentrismo, cuando queremos explicar cómo funcionan ciertas cosas en los gorilas, en los orangutanes y otros animales; muchas veces lo interpretamos en términos humanos, colocando propiedades antropomórficas, como el querer engañar, querer planear y todos esos verbos que se ocupan para la actividad mental humana. También existen otras formas como el euro-centrismo. Cuando llegaron los primeros españoles a América y se preguntaban si los indígenas tenían alma. Se trata en general de intentar reducir un fenómeno a algo que tiene las propiedades con las cuales uno está más habituado a tratar. En el estudio del lenguaje sucede esto mismo y se trata de una cierta forma de euro-centrismo, originada en la fundación de la lingüística como disciplina académica más rigurosa. Desde ese momento y sobre todo durante la década de 1950 y 1960, se ha tomado a la escritura, fenómeno que no es universal, como lo esencial del lenguaje. El hecho de que haya palabras formadas por letras que se pueden distinguir entre sí ha sido asumido como el paradigma de lo que es el lenguaje. Si preguntásemos en la calle, a la gente común y corriente, qué es el lenguaje, el 90 por ciento nos daría respuestas relacionadas con cosas como las palabras, los diccionarios y otras por el estilo. Y justamente, los diccionarios son depósitos de palabras escritas, que se supone dicen lo que las cosas significan. Esta especie de centrismo es euro-centrismo, porque se trata de definir todos los lenguajes del mundo tal y como se hablaban los idiomas en Europa, escritos con caracteres alfanuméricos. Todo esto determina en alguna medida el cómo se estudia el lenguaje, dándoles prioridad a las propiedades gramaticales, las propiedades sintácticas, como si fuesen las más esenciales. El enfoque de Chomsky, que surge en los años cincuenta, define el lenguaje de esta forma, basado en la gramática. Pero aquellas otras propiedades como la prosodia, el uso de la voz, las entonaciones, la postura corporal y la gestualidad, es decir, los aspectos que en general implican señales emocionales, quedan completamente de lado, relegados a la categoría de epifenómeno.

GPU: ¿Y el estudio con los Aymaras?

RN: El estudio con los Aymaras es un estudio específico sobre las nociones de tiempo en esa cultura. Utilizamos un enfoque lingüístico clásico, pero también nos dimos cuenta de las limitaciones que tenía estudiar exclusivamente las expresiones lingüísticas, con sus propiedades gramaticales y sus propiedades léxicas, morfémicas, etcétera. La limitación principal tenía que ver con el tipo de problemas que estábamos tratando, puesto que había un par de preguntas que eran cruciales para el estudio, que no podían ser respondidas en forma categórica desde un punto de vista lingüístico ortodoxo. Entonces dijimos, “qué pasaría si miráramos otras cosas, aunque los lingüistas nos señalen que no se trata de lenguaje”. Afortunadamente, en esa época, cuando comenzamos el estudio a principios de los años noventa, el estudio de la gestualidad humana comenzaba a tener influencia. La idea era considerar todos estos movimientos no arbitrarios que hacemos con las manos (y otras partes del cuerpo) en forma espontánea y que tienen otras propiedades respecto de lo que se denomina habla. El habla tiene en general una estructura más analítica bajo la forma de unidades lingüísticas como las palabras o los morfemas, los que se siguen unos de otros bajo determinadas reglas y restricciones temporales. No puedo caracterizar en forma simultánea todo lo que está en la habitación en la que ahora estoy. Tengo que empezar por elegir, por darme cuenta de lo que está delante o detrás de una ventana, por ejemplo. Entonces, elijo la ventana como punto de referencia, y luego debo elegir otras cosas, y señalar que esto de aquí está al frente de la ventana, que esto otro está a la izquierda, a la derecha, etcétera, todo lo cual tiene que ver con mi propia ubicación. La gestualidad, en cambio, tiene otras propiedades, que son sintéticas más que analíticas y que permiten, por ejemplo, negociar el tiempo de otra forma. Yo puedo caracterizar varias cosas al mismo tiempo con movimientos físicos de mis manos en el espacio: puedo referirme a una pelota que choca contra una puerta en forma simultánea o sintéticamente, caracterizando la puerta con una mano, la pelota con la otra, y mostrando el impacto de los dos mediante un gesto. En el habla eso no lo puedo hacer ya que tengo que decir primero puerta, después pelota y tengo que usar los verbos para describir la acción de choque. En fin, pasa un tiempo antes de que complete la imagen. Los gestos permiten observar otras propiedades lingüísticas que no están presentes en la gramática tal y como se la ha estudiado habitualmente. Este tipo de fenómenos fue lo que nos posibilitó responder adecuadamente a las preguntas científicas que teníamos en este proyecto del estudio del tiempo en los Aymaras. Por tanto, la moraleja fue algo así como “no es que el gesto sea superior al habla, sino que hay que usar todas las armas que se pueda para tratar de entender un problema, evitando limitarlo a algo predefinido”. Creo que es importante ver todas las propiedades gramaticales y lingüísticas, pero también esas otras facetas del lenguaje humano. Además, se trata de propiedades que se manifiestan en todas las culturas del mundo, por lo que en ese contexto ya no estamos pecando tanto de euro-centrismo. Todas las culturas, tengan o no escritura, tengan o no grandes sistemas de abstracciones y lógica, siempre manifestarán el uso de recursos como la prosodia y los gestos. Si consideramos así las cosas, estamos estudiando características realmente esenciales del lenguaje y la comunicación humana, no solamente aspectos específicos y relativos a determinados grupos culturales como los que han inventado la escritura, por ejemplo. Así, fue este enfoque que, mediante el análisis de gestos espontáneos, nos posibilitó afirmar con certeza que en la cultura Aymara tradicional los tiempos pasados son concebidos como estando al frente de ellos y los tiempos futuros detrás de ellos.

GPU: La investigación acerca de la gestualidad humana ¿corresponde a un área de investigación en el mundo, con fondos específicos asociados, o se trata de elementos más bien complementarios a la investigación más clásica?

RN: Las cosas están cambiando de a poco. Lo ves, por ejemplo, en áreas como la psicolingüística o incluso en la psicología cognitiva, que está empezando a estudiar cómo sucede la coordinación entre habla y gesto, que es algo que aún no sabemos cómo funciona. No sabemos cómo es que somos capaces de coordinar estos dos sistemas, uno analítico y otro sintético, uno global y holístico con otro puntual y discreto. ¿Cómo hace el sistema nervioso, cómo lo hacen las distintas culturas? Se trata de fenómenos de estudio relativamente nuevos, sobre los cuáles las personas que laboran en distintas disciplinas se están empezando a interesar: antropólogos, neurocientistas, educadores, entre otros. Muchos colegas están utilizando actualmente estudios de gestos para entender conceptos de aprendizaje en la sala de clases y la influencia de la gestualidad en la comprensión de los contenidos de parte de los alumnos. También hay algunos cambios tecnológicos que hacen que esto sea posible. Por ejemplo, hace treinta años no habría sido posible estudiar los gestos como lo hacemos hoy, no sólo porque las teorías hablaban de otras cosas sino porque no existía la tecnología que tenemos hoy. Actualmente, con una cámara de cien o doscientos dólares uno puede estudiar la gestualidad humana descomponiéndola en patrones de cuarenta mili segundos, cosa que era impensable hace tan sólo algunos años. Tenemos nuevos “microscopios”, por así decirlo, que posibilitan hacer este tipo de estudios. Esto no significa que ahora existan los departamentos de lingüística y paralelamente los de gestualidad; o que existan universidades con nuevos programas para estudiar exclusivamente la gestualidad. Más bien, creo que se trata de un proceso de incorporación paulatina de este tema en la visión de lo que entendemos por el lenguaje humano, situación que me parece muy positiva.

GPU: Hemos revisado muchos temas: la relación entre cultura y cognición, la importancia de las metáforas para el desarrollo de conceptos y sistemas abstractos, el rol de la gestualidad en el lenguaje, etc. Me gustaría saber ahora, cuáles cree usted que son los adjetivos que mejor caracterizan el enfoque detrás de su trabajo: ¿cognición corporalizada, cognición distribuida, enfoque enactivo?

RN: Bueno, no sé yo qué nombre ponerle. Quizá mente encarnada, mente naturalizada o corporal. Cualquier palabra en castellano o en inglés que denote que la dualidad mente y cuerpo se hace cada vez más borrosa, pudiera servirnos. Lo mental no es independiente de lo corporal y viceversa, entonces cualquier combinación de palabras que caracterice aquello pudiera servir. Los enfoques enactivos, entendidos como los caracterizó Francisco Varela y otros después, también se aplican. De hecho, hace poco tiempo me invitaron a escribir unos capítulos para un libro sobre enacción. El trabajo mío estudia de alguna forma el nacimiento, la génesis de algo que es llevado adelante, creado o enactuado. Lo que me interesa a mí son asuntos de tipo conceptual: tipos de abstracción, tipos lingüísticos y la forma en la que se interrelacionan con fenómenos que son supra-individuales, como la historia, la cultura y el concepto educativo de aprendizaje, proceso que es socialmente coordinado, y cómo esto se relaciona a su vez con nuestra organización biológica. En ese sentido la expresión enactivo también es coherente con mi trabajo. En fin, no creo que sea una combinación de nombres que aplique exactamente, pero mi laboratorio aquí en la Universidad California se llama Embodied Cognition Lab, o sea, Laboratorio de Estudio de la Cognición Corporalizada o algo así. Pero también podríamos llamarle Embodied Mind, como algo más general que la cognición exclusivamente, puesto que también hacemos cosas que tienen que ver con las emociones y otros aspectos de lo mental. De cualquier modo, la etiqueta me preocupa menos que la actividad misma que hagamos.

GPU: Para finalizar, quisiera sacarlo un poco de su ámbito cotidiano y preguntarle por algunas pistas que su investigación pudiera ofrecer al trabajo terapéutico clínico. A mí me parece que esta mirada sugiere un rescate de definiciones un poco olvidadas dentro de la psicología, como la Terapia reichiana, y otras líneas de trabajo terapéutico corporal. No sé si usted ve ésta u otras conexiones…

RN: Me parece que hay distintos tipos de posibilidades para dar una respuesta a tu pregunta. Por un lado, creo que el mundo de la academia, sobre todo del estudio de lo mental, ha manifestado una especie de esfuerzo por de-sustancializar lo corporal, haciéndolo algo “etéreo”. Por ejemplo, creo que muy pocas escuelas de psicología o de psiquiatría que tienen actividades que sean experienciales, de ritmos, de música, de fatiga, en fin, de aspectos de la corporalidad que son esenciales en nuestra vida cotidiana. Básicamente, toda la formación se alcanza desde un escritorio, mirando a alguien que está al frente, escribiendo cosas en un pizarrón o leyendo. Es verdad que hay algunas pocas dinámicas de grupo que se realizan sentados en el suelo. Pero, en general, me parece que hay muchos aprendizajes que debieran hacerse en forma más dinámica, en movimiento, en acción. En ese sentido, pienso que esas terapias, a las cuales tú te referías, utilizan un poco ese lado. Sin embargo, pienso que es necesario reevaluar un poco ese tipo de enfoques, puesto que hay mucha mistificación respecto de la trascendencia de la experiencia humana, transformándola en algo mágico, espiritual en un sentido de “más allá” del cuerpo. Mi impresión es que esa visión no es conveniente y en ese sentido creo que es necesario vincular la experiencia más a lo “animal” y menos a lo “místico espiritual”. Dicho de otro modo, creo necesario y terapéutico entender la dimensión biológico-animal de la experiencia. Creo que desde ahí será posible entender los temas de la biodiversidad y del rol del ser humano en la biosfera, o en el recalentamiento de la Tierra. Algunos enfoques de terapia corporal ayudan en este sentido, cuando, por ejemplo, comprendemos que un paciente que está exprimiendo sus manos está expresando cierto tipo de angustia. Las historias de la vida propia son narradas, en cada caso, con el lenguaje en un sentido verbal. Pero hay además otras herramientas de comunicación que pasan por los movimientos oculares, faciales, las contracciones musculares, en fin, una serie de formas de decir que se entienden mejor de una manera no reduccionista, es decir, no traduciéndolas sólo a medidas de tonicidad muscular o de respuesta dermo-galvánica. En fin, estas cuestiones son también importantes. Sin embargo, si miramos el lenguaje a la luz de las metáforas, aparece también una dimensión semántica. Creo que ese tipo de herramientas, que se aplican en la ciencia básica, pueden ser muy productivas en el área de la terapia, justamente porque entran en la dimensión semántica del ser humano. Esa dimensión puede dar cuenta de la experiencia en un sentido más general, más allá de lo consciente, y que expresan estados inconscientes de una manera distinta a como fueron concebidos por Freud. Me parece que hay toda un área de investigación que se debería explorar en esa dirección.

GPU: A nombre de los lectores de GPU le agradecemos haber aceptado esta entrevista y haber respondido todas las preguntas que le fueron formuladas.

Siguen referencias con trabajo de Rafael Núñez.

NOTA
Algunas de estas publicaciones están disponibles en PDF en el sitio:

http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/web/links.html.

Email: nunez@ cogsci.ucsd.edu

Pueden bajar la Revista de donde tome ésto, de, vol4n2junio2008.pdf

Matriz $2\times2$

Según la fórmula en el libro del Prof. Strang, y la nota de Wikipedia. La solución a un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas se puede hacer así:

$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) =\left(\begin{array}{c}
e\\
f\end{array} \right)$

Primero calculamos la inversa:

$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)^{-1} = \frac{\left( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \end{array} \right)}{ad - bc}$

y después multiplicamos la primera ecuación por la inversa.

$\frac{\left( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \end{array} \right)}{ad - bc}\cdot \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) = \frac{\left( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \end{array} \right)}{ad - bc}\cdot \left(\begin{array}{c}
e\\
f\end{array} \right)$

Según las reglas de multiplicación de matrices tenemos:

$\frac{\left( \begin{array}{cc}
da - bc& db - bd \\
-ca + ac & -cb + ad \end{array} \right)}{ad - bc}\cdot \left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) = \frac{\left( \begin{array}{c}
de - bf \\
-ce + af \end{array} \right)}{ad - bc}$

Finalmente, al simplificar:

$\left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) = \frac{\left( \begin{array}{c}
de - bf \\
-ce + af \end{array} \right)}{ad - bc}$

Es decir:

$x = \frac{de - bf}{ad - bc}$

y

$y = \frac{-ce + af}{ad - bc}$

Si el estudiante no hace el ejercicio, no verá que realmente esta es la solución. Me parece que una verificación es suficiente. Multiplicar la matriz por su inversa y mostrar que se obtiene la matriz unidad. Se debe hacer primero con la inversa a la izquierda, y después con la inversa a la derecha; las dos maneras deben dar lo mismo. La primera manera está arriba y se obtiene la matriz unidad, si no no hubiéramos podido despejar las incógnitas.

Strang como png

Buzz

El semestre pasado traté de sacar a los estudiantes de www.facebook.com, y meterlos a www.google.com/buzz con resultados desastrosos. Nos quedamos el Mtro. Altamirano y yo solitos en Buzz.

Quiero volverlo a intentar por la siguiente razón:

Yo no soy inversionista pero sí me gusta apostarles a las empresas. Creo que Google le ganará eventualmente a Facebook.

La comunicación, más inmediata será por Buzz. Por lo pronto ya puse el video de Gilbert Strang ahí.

Eduardo Cantoral en Buzz

Ya que estemos en clase, espero organizar un lugar especial sólo para el curso de Mecánica con los interesados.

Mtro. Cantoral, Ud. No Se Puede Enfocar

El Prof. Mendieta me dijo, como buen amigo, que mis estudiantes se quejan de que no enfoco bien mis presentaciones en clase.

Desde que llegué a la UAG me dió mucho gusto que todos los salones tienen conexión a Internet. En Puebla era mi sueño tener una situación así. Lamentablemente, aunque fue la primera institución pública del estado, después del Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica, que tuvo Internet, cuando enseñé allá, realmente no hubiera podido dar clase como lo he hecho aquí con gran gusto.

Sin embargo, yo he usado la Internet desde 1994, y ustedes no. Por lo tanto estoy más acostumbrado que ustedes, y debo acomodarme para que no los abrume con tanta información.

Me sorprende que mis alumnos se hayan comunicado conmigo a través de mi amigo, en lugar de decirme directamente. Creí haberles dado suficiente confianza para que pudieran criticarme directamente. Los invito aquí a que no les dé pena decirme que no los estoy ayudando, que realmente es lo único que quiero hacer.

Lo bueno es que me encontré a un pionero en Guerrero del uso de la Internet para enseñar, el Dr. Edgar Altamirano Carmona. Me está ayudando en este curso y se lo agradezco. He aprendido de él algunas cosas, y otras ya las había pensado yo sólo, sobre cómo usar la Internet para enseñar.

Para que de veras dominen la Mecánica, tomen mi trabajo y mis clases con ustedes solo como la guía de una persona mayor, porque éso sí, aparte del Prof. Mendieta, que ya sabe Mecánica, yo soy mayor probablemente que todos los que tomen el curso.

El trabajo del Prof. Strang es muy bueno, si siguen mis indicaciones, pueden aprovecharlo. El matemático Karl Menger fue un pionero en la enseñanza del cálculo en la época de las computadoras, y Sussman y Wisdom, también hicieron un gran trabajo.

Como soy el profesor del curso yo llevaré la batuta, qué tareas hacen y de qué hablamos en cada ocasión, pero realmente espero que aprovechen los recursos que les ha brindado la UAG, para aprender Mecánica.

Al único alumno que conozco, Bricio Cuauhtenango Barro, ya le dí tarea. Espero que la esté haciendo.

Una de las siguientes notas corresponde a la solución exacta, en diferencias finitas del oscilador armónico.

Los físicos sabemos más de tres maneras de resolver el problema del oscilador armónico. Esta manera de diferencias finitas no es tan popular como otras, pero cada vez más estudiantes la conocen.

Matrices Inversas (William Gilbert Strang)

El Prof. William Gilbert Strang puso la sección de Matrices Inversas en un archivo pdf aquí.

Les recomiendo que aunque está en inglés, lo lean.

Primera Conferencia del Prof. Strang

Video del Curso del Profesor Strang

Otras fuentes importantes de material de física y matemáticas, son la Universidad de Stanford, y el Instituto Tecnológico de Massachusetts.

Aquí pongo una liga al curso de Álgebra Lineal del Prof. Strang, está en inglés.

MIT OpenCourse Ware: 18.06 Linear Algebra, Spring 2005

Inversión de Matrices (Wikipedia)

Solución analítica

[editar] Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:^[1]

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

[editar] Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

donde es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A

CALCULUS - A Modern Approach

Antes de escribir el problema del oscilador armónico con matrices de $2\times2$, voy a traducir un pedazo del libro de Karl Menger; cuyo título puedo traducir como: `` CÁLCULO : Un Acercamiento Moderno''.

En la p. 46 de la edición de Dover tenemos:

La determinación real de esas cotas presupone el cálculo de $1^2 + 2^2 + \dots + (n - 1)^2 + n^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n$ para cualquier $n$.

Las leyes aritméticas de esta clase frecuentemente se descubren (como lo son las leyes físicas) por una adivinanza basada en la inspección de casos especiales. Por ejemplo, si uno observa que

$1 = 1,\hfill 1 + 3 = 4,\hfill 1+ 3 + 5 = 9,\hfill 1 + 3 + 5 + 7 = 16$,

se puede adivinar que, para cada entero $n$, la suma de los primeros $n$ términos impares es igual a $n^2$, esto es,

$1 + 3 + \dots + (2n - 3) + (2n - 1) = n^2$.

Unos pocos ensayos más confirman la adivinanza. Más allá de verificaciones como ésa en casos especiales, las leyes aritméticas (en contraste con las leyes físicas) se pueden probar en lo general. Por ejemplo, una prueba de la ley concerniente a los números impares es como sigue:

Suponga que la ley es válida para los primeros $n - 1$ números impares; es decir, suponga que

$1 + 3 + \dots + (2n - 3) = (n - 1)^2.$

Sumando $2n -1$ a ambos lados, uno concluye

$1 + 3 + \dots + (2n - 3) + (2n - 1) = (n - 1)^2 + (2n - 1).$

Puesto que el lado derecho es igual a $n^2$, se ha probado la ley para $n$ bajo la suposición de su validez para $n - 1$. Ahora la ley es válida para $4$ (y números menores); así, de acuerdo a lo que se ha probado, es válido para $5$. Puesto que es válido para $5$, es válido para $6$; y así para los que siguen. Por esta razón los matemáticos están satisfechos de que la ley es válida para cualquier $n$. Un razonamiento de esta clase se llama una prueba por inducción.

Matrices

El polinomio característico $\chi(\lambda)$ de la matriz de $2 \times 2$

\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\]

está dado por la fórmula

\[ \chi(\lambda) = \left| \begin{array}{cc}
\lambda - a & -b \\
-c & \lambda - d \end{array} \right|.\]

Si se resuelve este sistema, es posible encontrar dos vectores columna que cumplen con la ecuación.

\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c}
u_1\\
0\end{array}\right) = \lambda_1 \left(\begin{array}{c}
u_1\\
0\end{array}\right).\]

y

\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
u_2\end{array}\right) = \lambda_2 \left(\begin{array}{c}
0\\
u_2\end{array}\right).\]

Pueden leer más en Wikipedia.

Punto Medio

Cuando consideramos una variación directamente proporcional en una ecuación de diferencias finitas, es importante considerar el punto medio.

Galileo demostró que al tomar el promedio, es decir pasar la línea horizontal justo a la mitad de la línea inclinada, se obtiene la misma área del trapecio correspondiente, a la del rectángulo que tiene la horizontal como parte alta.

La razón como vimos antes, es que los triángulos formados con los ángulos agudos a la derecha, y a la izquierda son congruentes.

Para el oscilador armónico, tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, que reescribo aquí.






La razón para poner el promedio, tanto para $x_n$ como para $v_n$, es que aparece la primera variación de esas cantidades en las ecuaciones. El resultado es exacto, ya que el área debajo de la línea horizontal, es igual a la de arriba de ella.

Antes de resolver el sistema, es bueno introducir matrices de $2\times2$ 

Firefox 3.6.7

$\LaTeX$

Con este navegador o buscador (browser en inglés) cambié $\TeX$ the World, por $\LaTeX$ con WatchMath. Resulta que no era compatible el nuevo buscador con el viejo plugin.

Parece más fácil mantener este cambio.

Después de varias notas sobre astronomía, y el método de Polya para resolver problemas matemáticos, regreso en la nota de arriba a la solución del oscilador armónico.

Polya Para Leer en Español

Paso 1: Entender el Problema.
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?
6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?

Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
6.- Hacer una figura.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resover un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos
14.- Resolver una ecuación
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

Comunmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:

Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:

1.- Acepta el reto de resolver el problema.
2.- Reescribe el problema en tus propias palabras.
3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4.- Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.
5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7.- Analiza el problema desde varios ángulos.
8.- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9.- Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.
12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución.
14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.
15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.

Tomado de Método Polya