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Monday, November 8, 2010

Hoja de Cálculo

Posted by Eduardo Cantoral at 8:27 AM

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Piet Hut: Book Review of Structure and Interpretation of Classical Mechanics

Foundations of Physics 32,323-326 (2002)

Revisión del Libro Estructura e Interpretación de la Mecánica Clásica
por G. J. Sussman y J. Wisdom, con Hardy Mayer (Prensa del M.I.T. )
Piet Hut Institute for Advanced Study Princeton, NJ
Este es el primer libro que he encontrado que explica a la mecánica clásica usando el principio variacional de tal manera que no hay ambigüedades ni en la presentación ni en la notación. El salto hacia la claridad y la precisión resultante probablemente influenciará a una nueva generación de estudiantes de física, abriendo sus ojos a la belleza de la mecánica clásica. Muy probablemnte, algunos de estos estudiantes serán inspirados para encontrar interpretaciones más nuevas y profundas de la mecánica clásica. A su vez, tal concepción más profunda pudiera muy bien llevar a un entendimiento más profundo de la mecánica cuántica, y el principio variacional es el principal puente entre las dos.
Se introduce a muchos estudiantes de física a las Hamiltonianas y Lagrangianas sólo hasta su primer curso de mecánica cuántica. Frecuentemente les sorprende oir que ambos Hamilton y Lagrange tenían mucho tiempo de muertos en 1925, y que de hecho sus métodos han estado entre nosotros durante la mayor parte del siglo diecinueve. Entrando así abruptamente a la mecánica cuántica voltea de cabeza el desarrollo histórico, oscureciendo así la relación más fundamental entre la mecánica clásica y cuántica, y haciendo aparecer a la segunda aún más misteriosa y extraña de lo que es realmente. Como resultado, los estudiantes salen con la impresión de que la mecánica cuántica usa herramientas que son fundamentalmente diferentes de las que se usan en la mecáncia clásica. Todavía más , parece como que si uno tiene que hacer mucho esfuerzo para extraer algo que parezcan las ecuaciones de movimiento clásicas de tratamientos aproximados de los valores esperados de las variables mecano-cuánticas.
Hubiera deseado que se me hubiera introducido a la mecánica clásica con este libro antes de que aprendiera los detalles de la mecáncia cuántica. Sucedió, que nací adelantado treinta años, para que hubiera podido leer este libro en el primer año de mi carrera. En su lugar, tuve que tropezarme con varias representaciones de la mecánica, de una forma que no es atípica de lo que les pasó a muchos de mis colegas.
Al final de mi segundo año de licenciatura en la Universidad de Utrecht, en Holanda, completé un curso detallado de mecánica clásica y un curso introductorio, más bien como una visita guiada, de mecánica cuántica. Sabía que después del verano tomaría mi primer curso real de mecánica cuántica, y lo esperaba con impaciencia. De la visita guiada me dí cuenta que el mundo del cuanto ofrecía una realidad completamente diferente de la del mundo como de reloj de la mecánica clásica. Tenía mucha curiosidad para ver como se unirían las dos: como podía ser posible que el mundo cuántico intrínsicamente espontáneo, sin reglas e impredecible podría haber dado lugar en escalas mayores a la apariencia quieta del mundo de reloj de la mecánica clásica.
Más o menos por este tiempo, un estudiante mayor me dijo que primero tal vez debería leer sobre el principio variacional en la mecánica clásica. Me dió unas notas encuadernadas de dinámica Lagrangiana y Hamiltoniana. Recuerdo vívidamente tomando las notas bajo mi brazo, caminando a una bonita terraza cerca de uno de los canales de Utrecht, quedándome ensimismado en el texto. Todas las aplicaciones eran familiares, sólo el enfoque era magia pura. Ví en ropas clásicas la equivalencia de las funciones de onda y la interferencia de fase en la mecánica clásica, ¡de maneras que habían sido descubiertas más de un siglo antes que la mecánica cuántica! ¿Cómo era posible? ¿Qué quería decir éso? Todavía recuerdo poniendo las notas a un lado, después de un par de horas, y mirando la manera en que la luz del sol, reflejada de las olas en el agua, estaba pintando caústicas siempre cambiantes dentro de los arcos del puente de piedra junto a mi terraza . No hay mejor metáfora que se hubiera presentado frente a mis ojos. ¡Así pues, era como el mundo se sostiene a sí mismo, pensé, a través de ondas y fases e interferencia, aún a nivel clásico!
Sentí el impacto de esta revelación por varios días. Ahora de veras quería saber que estaba pasando. Pronto fuí a la biblioteca a buscar libros sobre el principio variacional en la mecánica clásica. Encontré varios tomos pesados, los pedí todos, y empecé con el que parecía más atractivo. Vaya, no me tomó mucho darme cuenta que había mucha imprecisión. No había una clara definición del procedimiento usado para calcular integrales de trayectoria, mucho menos para las operaciones para diferenciar las trayectorias de varias formas, por usar derivadas parciales y/o usando una derivada ordinaria sobre una trayectoria particular. Y tampoco era claro cuándo y por qué los puntos extremos de las distintas trayectorias se tenían que considerar fijos o sujetos a cambio a las variaciones, lo que contribuía a la confusión general.
No fue muy difícil hacer los ejercicios de cajón, y desde un punto de vista instrumental, mi libro era muy claro, siempre y cuando el lector se concretara a los ejemplos simples. Pero me frustraba la ambigüedad de la presentación, y empecé a hojear otros libros aún más detallados. Vaya, en ningún lado encontré la claridad que deseaba, y después de unos meses simplemente me rendí. Como generaciones de estudiantes antes que yo, a regañadientes acepté el dictum de que `no debes de tratar de entender mecánica cuántica, puesto que éso te distraerá de hacer física', y yendo más lejos, ¡también desistí de entender realmente mecánica clásica! Los mecanismos de defensa sicológicas convirtieron mi amargo sentido de insatisfacción en un aburrido sentimiento de desencanto.
Con este marco de fondo, me fascinó leer el prefacio de Estructura e Interpretación de la Mecánica Clásica. La mera primera cita de Jacobi, según Arnold, mostró que los autores debieron haber tenido batallas similares que las que tuve de estudiante: ``En casi todos los libros de texto, aún los mejores, este principio [variacional] se presenta de tal manera que es imposible de entender.'' Es conmovedor ver un libro que desde la primera página se plantea atacar este problema.
Espero que una nueva generación de estudiantes se encuentren Estructura e Interpretación de la Mecáncia Clásica, y así que conozcan mejor y más profundamente de lo que yo lo hice, ambas, la mecánica clásica y la cuántica. La caracterísitca central de este nuevo libro es que tiene la garantía debida a su construcción de tener cero ambigüedad en cualquiera de las más o menos 1200 ecuaciones matemáticas que aparecen. Esto suena como una oferta notable si no es que imposible de cumplir. La clave aquí está en que cada expresión matemática está en correspondencia uno-a-uno con una expresión equivalente escrita en código computacional. Cada una de estas expresiones se ha compilado y probado por los autores y por muchos de sus estudiantes durante varios años, mientras que los autores estaban desarrollando y a la vez enseñando el material en este libro.
La clave para usar un lenguaje de computación está resumida por los autores, también en el prefacio:``El requisito de que la computadora sea capaz de interpretar cualquier expresión provee una retroalimentación estricta e inmediata a que si la expresión está formulada correctamente. La experiencia demuestra que la interacción con la computadora de esta manera descubre y corrige muchas deficiencias en el entendimiento''.
Puede parecer extraño que un pedazo de código computacional pueda capturar nociones tales como evaluación de varios tipos de variaciones de funciones que contienen derivadas parciales a lo largo de ya sea trayectorias arbitrarias o dadas en el espacio fase. Cuando se expresan en un lenguaje de programación más tradicional de los encontrados en la física o en los negocios, tales como Fortran o C o C++, escribiendo un paquete para modelar mecánica variacional hubiera sido una tarea muy complicada, resultando en un producto más opaco. Afortunadamente, los autores escogieron un lenguaje funcional, Scheme, un lenguaje particularmente delgado tipo Lisp, en el cual estas ideas se pueden expresar en una manera muy económica y clara. La composición funcional, la clave para clarificar matematicamente la mecánica variacional, tiene una contraparte exacta en el enfoque de programación funcional que es esencial en Scheme.
Scheme está disponible ampliamente, y frecuentemente gratis como software libre que se puede repartir, y existen excelentes libros de texto en Scheme, notablemente ``La Estructura e Interpretación de los Programas de Computación,'' de H. Abelson y G. J. Sussman (Editorial M.I.T., 2^a edición, 1996). A la vez que tales libros serán útiles, el presente libro es auto-contenido: se da una introducción elemental a Scheme en un apéndice, que es suficiente para el libro.
Una característica de Scheme es que es fácil de aprender: la sintáxis del lenguaje es mucho más simple que la de, digamos, Fortran o C (ya no digamos C++). Aún así, si el lector tiene curiosidad sobre la potencia completa de Scheme también, tanto como de los principios detrás de su diseño, vale la pena leer el libro de Abelson/Sussman. La invitación ofrecida por Scheme al pensamiento abstracto y compacto nos deja marcados, una vez que usted empieza a jugar con él, aún por poco tiempo. En mi caso, tan pronto como leí la primera edición en 1985, tomé Scheme como mi lenguaje favorito. Y aunque me veo forzado a usar otros lenguajes en proyectos de colaboración en astrofísica, mi estilo de programación en esos otros lenguajes, también, claramente muestra la inspiración que he recibido de Scheme.
El contenido de este libro es completamente moderno, y cubre tópicos desde la serie de Lie hasta una variedad de tópicos en teoría de caos. Los autores tiene un record impresionante en esta última área: fueron los primeros en mostrar el hecho de que el sistema solar es caótico, un descubrimiento muy sorprendente cuando se anunció en 1988 ( en Science, 241, 433; usando una computadora de propósito particular, la Orrery de Digital, encontraron que la orbita de Plutón tiene un exponente de Lyapunov de 20 millones de años). Finalmente, hay numerosos ejercicios útiles en todos los capítulos del libro, todos los cuales han sido probados exhaustivamente durante los seis años que los autores han enseñado el material presentado en este libro a los estudiantes de licenciatura del M.I.T.

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