Matriz $2\times2$

Según la fórmula en el libro del Prof. Strang, y la nota de Wikipedia. La solución a un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas se puede hacer así:

$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) =\left(\begin{array}{c}
e\\
f\end{array} \right)$

Primero calculamos la inversa:

$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)^{-1} = \frac{\left( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \end{array} \right)}{ad - bc}$

y después multiplicamos la primera ecuación por la inversa.

$\frac{\left( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \end{array} \right)}{ad - bc}\cdot \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) = \frac{\left( \begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \end{array} \right)}{ad - bc}\cdot \left(\begin{array}{c}
e\\
f\end{array} \right)$

Según las reglas de multiplicación de matrices tenemos:

$\frac{\left( \begin{array}{cc}
da - bc& db - bd \\
-ca + ac & -cb + ad \end{array} \right)}{ad - bc}\cdot \left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) = \frac{\left( \begin{array}{c}
de - bf \\
-ce + af \end{array} \right)}{ad - bc}$

Finalmente, al simplificar:

$\left(\begin{array}{c}
x\\
y\end{array} \right) = \frac{\left( \begin{array}{c}
de - bf \\
-ce + af \end{array} \right)}{ad - bc}$

Es decir:

$x = \frac{de - bf}{ad - bc}$

y

$y = \frac{-ce + af}{ad - bc}$

Si el estudiante no hace el ejercicio, no verá que realmente esta es la solución. Me parece que una verificación es suficiente. Multiplicar la matriz por su inversa y mostrar que se obtiene la matriz unidad. Se debe hacer primero con la inversa a la izquierda, y después con la inversa a la derecha; las dos maneras deben dar lo mismo. La primera manera está arriba y se obtiene la matriz unidad, si no no hubiéramos podido despejar las incógnitas.