Antes de escribir el problema del oscilador armónico con matrices de $2\times2$, voy a traducir un pedazo del libro de Karl Menger; cuyo título puedo traducir como: `` CÁLCULO : Un Acercamiento Moderno''.
En la p. 46 de la edición de Dover tenemos:
La determinación real de esas cotas presupone el cálculo de $1^2 + 2^2 + \dots + (n - 1)^2 + n^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n$ para cualquier $n$.
Las leyes aritméticas de esta clase frecuentemente se descubren (como lo son las leyes físicas) por una adivinanza basada en la inspección de casos especiales. Por ejemplo, si uno observa que
$1 = 1,\hfill 1 + 3 = 4,\hfill 1+ 3 + 5 = 9,\hfill 1 + 3 + 5 + 7 = 16$,
se puede adivinar que, para cada entero $n$, la suma de los primeros $n$ términos impares es igual a $n^2$, esto es,
$1 + 3 + \dots + (2n - 3) + (2n - 1) = n^2$.
Unos pocos ensayos más confirman la adivinanza. Más allá de verificaciones como ésa en casos especiales, las leyes aritméticas (en contraste con las leyes físicas) se pueden probar en lo general. Por ejemplo, una prueba de la ley concerniente a los números impares es como sigue:
Suponga que la ley es válida para los primeros $n - 1$ números impares; es decir, suponga que
$1 + 3 + \dots + (2n - 3) = (n - 1)^2.$
Sumando $2n -1$ a ambos lados, uno concluye
$1 + 3 + \dots + (2n - 3) + (2n - 1) = (n - 1)^2 + (2n - 1).$
Puesto que el lado derecho es igual a $n^2$, se ha probado la ley para $n$ bajo la suposición de su validez para $n - 1$. Ahora la ley es válida para $4$ (y números menores); así, de acuerdo a lo que se ha probado, es válido para $5$. Puesto que es válido para $5$, es válido para $6$; y así para los que siguen. Por esta razón los matemáticos están satisfechos de que la ley es válida para cualquier $n$. Un razonamiento de esta clase se llama una prueba por inducción.
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