Observaciones sobre Matrices del OA

De la nota anterior tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) $$ = $$\left(\begin{array}{c c}\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \\\ frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_n \\x_n \end{array}\right) $$
Sustituyendo:

$$ \sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$ y $$ \cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$

Tenemos:

$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$

Concentrando la atención en la matriz de transormación, tenemos:

$$ \left(\begin{array}{c c}

\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\

\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c}

\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\

\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}

\cos^2 \theta_{\epsilon} -\sin^2 \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} -\sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} \\

\sin \theta_{\epsilon}\cdot \cos \theta_{\epsilon}+\cdot\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} \cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} \end{array}\right)$$

Con las igualdades trigonométricas:

$$\cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} = \cos 2\theta_{\epsilon}$$

y

$$2\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} = \sin 2 \theta_{\epsilon}$$

Podemos escribir el cuadrado de la matriz de transforamción como:

$$ \left(\begin{array}{c c}

\cos 2\theta_{\epsilon} - \sin 2\theta_{\epsilon}\\

\sin 2\theta_{\epsilon} \cos 2\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$

Se puede demostrar por inducción matemática que:

$$ \left(\begin{array}{c c}

\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\

\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)^n = \left(\begin{array}{c c}

\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\

\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$

Concluyendo, si $$w_0$$ y $$\epsilon$$ son dados, entonces la solución buscada es:

$$w_n = \left(\begin{array}{c c}

\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\

\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right) \cdot w_0$$.

Geométricamente el vector de fase gira cada vez que pasa un tiempo discreto $$\epsilon$$, un ángulo $$\theta_\epsilon$$, en el sentido de las manecillas del reloj.

Para recordar este resultado matemático podemos ver que si $$v$$ es positiva, entonces $$x$$ aumenta; en otras palabras un punto en el primer cuadrante se acerca al eje de las abscisas, es decir al eje $$x$$.