En la página 141 del libro de Cálculo de Karl Menger tenemos:
(14) $\int_a^b f = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\cdot [f(a + \frac{d}{2}) + f(a +3 \frac{d}{2}) + \dots +f(a + (2n -1)\frac{d}{2})]\cdot(b - a)$
donde $d = (b -a)/n$
Tuesday, August 31, 2010
Monday, August 30, 2010
Friday, August 27, 2010
Fractales en el Libro de Karl Menger
Cuando conocí los fractales por primera vez en 1981, en el Museo de la Ciencia de Boston. Primero me alegré por saber algo nuevo, luego me molestó que nadie en México se hubiere tomado la molestia de decirme algo al respecto, y finalmente me sentí obligado a decirlo al mayor número de estudiantes posibles.
Aquí pongo mi granito de arena.
Resulta que el Prof. Menger ya para 1955 tenía publicado el libro de Cálculo, para un amplio público, del que he escrito aquí. Tomaré una sección de la página 134.
``En base a su experiencia con funciones elementales, los matemáticos pensaron originalmente que toda función continua $f$ tenía una derivada $\textbf{D} f $x para la mayoría de los números x que pertenecen al Dom $f$ - en lenguaje geométrico, que los puntos donde una curva continua no tiene tangente son excepcionales. Hasta existen pruebas incorrectas de esta aseveración (Ampère, 1806). Bolzano construyó una curva continua sin tangente en todos los punto pero nunca publicó este gran resultado. En los 1870s, Weierstrass definió a las funciones continuas sin derivada en todos lados sumando un número infinito de curvas coseno cada una con una frecuencia mayor pero una amplitud menor, que la curva anterior. Uno de sus ejemplos es
$\frac{1}{2}\cos (13 \pi j) + \frac{1}{2^2}\cos (13^2 \pi j) + \frac{1}{2^3}\cos (13^3 \pi j) + \dots + \frac{1}{2^n}\cos (13^n \pi j) + \dots$
En el intervalo entre $0$ y $1$, sobre las $13$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{2}$, Weierstrass superimpone primero $13^2$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{4}$, después $13^3$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{8}$, y así sucesivamente. El resultado para cada superposición es una curva que tiene una tangente en cada punto pero es, como se dijera, más temblorosa que la curva precedente. Se puede mostrar que el límite de las curvas así obtenidas es la gráfica de una función que es continua en todos lados sin tener una derivada en todos los puntos.''
La única otra referencia de esas fechas, a una situación así, la leí en un artículo de Richard P. Feynman de 1949.
Ni Menger ni Feynman llaman a esas figuras fractales. Pero así las bautizó Mandelbrot en los 1970s. La diferencia con Menger es que lo pusó en un libro de texto, y Feynman en un artículo con ideas originales.
Wednesday, August 25, 2010
El Límite
Karl Menger escribe casi la tercera parte de su libro sin definir límite. Los primeros capítulos se refieren a un álgebra de funciones lineales; verticales y horizontales. Con esas resuelve el problema del cálculo que define en la página 1.
Todo el libro está escrito con precisión conceptual, tocando tres aspectos del concepto de variable.
I. Variables según Weierstrass, llamadas aquí variables numéricas, como $x$ e $y$ en
Todo el libro está escrito con precisión conceptual, tocando tres aspectos del concepto de variable.
I. Variables según Weierstrass, llamadas aquí variables numéricas, como $x$ e $y$ en
(1) $x^2 - 9 y^2 = (x + 3y)\cdot (x - 3y)$ para cualquiera dos números $x$ e $y$
II. Variables o cantidades variables en el sentido en el cuál los científicos usan estos términos; por ejemplo, $t$, el tiempo; $s$, la distancia recorrida (en unidades escogidas); $x$ e $y$, la abcisa y ordenada en un plano físico o postulado (relativo a sistemas escogidos de referencia); etc.
...
(2) $s = 16t^2$.
...
III. Variables en el sentido de $u$ y $w$ en aseveraciones como
(3) Si $w = 16 u^2$, entonces $\frac{dw}{du} = 32 u$ para cualquiera dos fluentes, $u$ y $w$.
Menger distingue con distinto font los símbolos que usará en el libro. No he intentado escribirlo en $\LaTeX$, pues distingue entre números en cursiva 6 , y números en romana 6. Sin embargo si quiero expresar la opinión de que en 1955, Merger se adelantó a las preocupaciones de los matemáticos al automatizar el cálculo numérico.
Monday, August 23, 2010
Mecánica y Medallas Fields
Hasta donde entiendo, todas las medallas Fields dadas esta semana en Hyderabad están relacionadas con ideas mecánicas.
Pueden leer aquí.
Pueden leer aquí.
Horario
La Mtra. Flor Montserrat Rodríguez Vásquez asignó el siguiente horario al curso de Mecánica Clásica.
Como Optativa I
Lunes 10:20AM - 12:50PM
Miércoles 12:00 - 13:40 PM
Como Optativa II
Martes 12:50 - 14:30 PM
Jueves 12:00 14:30 PM
Como Optativa I
Lunes 10:20AM - 12:50PM
Miércoles 12:00 - 13:40 PM
Como Optativa II
Martes 12:50 - 14:30 PM
Jueves 12:00 14:30 PM
Friday, August 6, 2010
Area Bajo Una Curva
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Area Bajo Una Curva
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Capítulo 1: Cálculo; por Karl Menger
$\textsc{Los dos problemas b}$Á$\textsc{sicos del C}$Á$\textsc{lculo y sus soluciones para l}$Í$\textsc{neas rectas}$.
En la figura aparece una línea horizontal $O$ y una curva simple $f$. Se dice que una curva es simple si no intersecta a ninguna línea vertical (i.e., ninguna línea perpendicular a $O$) en más de un punto. La letra S no es una curva simple - un hecho ilustrado por cualquier signo $; tampoco un círculo. La mitad de arriba y la mitad de abajo de un círculo, tomadas por separado, son curvas simples.
Se han escogido sobre la línea $O$, un punto 0 y un punto 1. El segmento entre ellas se llama una unidad lineal. El punto que está 2 (o cualquier número, a) unidades a la derecha de 0 se llama el punto 2 (el punto a). Las distancias verticales se miden en la unidad lineal entre 0 y 1 giradas un ángulo recto; las áreas, en unidades cuadradas como la marcada sobre el segmento de 0 a 1.
En la figura aparece una línea horizontal $O$ y una curva simple $f$. Se dice que una curva es simple si no intersecta a ninguna línea vertical (i.e., ninguna línea perpendicular a $O$) en más de un punto. La letra S no es una curva simple - un hecho ilustrado por cualquier signo $; tampoco un círculo. La mitad de arriba y la mitad de abajo de un círculo, tomadas por separado, son curvas simples.
Se han escogido sobre la línea $O$, un punto 0 y un punto 1. El segmento entre ellas se llama una unidad lineal. El punto que está 2 (o cualquier número, a) unidades a la derecha de 0 se llama el punto 2 (el punto a). Las distancias verticales se miden en la unidad lineal entre 0 y 1 giradas un ángulo recto; las áreas, en unidades cuadradas como la marcada sobre el segmento de 0 a 1.
Thursday, August 5, 2010
Notación
Los libros de Cálculo tienen esta estructura general:
El Prof. Kuratowski escribe:
Este libro contiene las notas de clase de cálculo diferencial e integral, que he impartido durante muchos años en la Universidad de Varsovia.
``This book contains notes of lectures on differential and integral calculus, prepared for publication, which I have held for many years in the University of Warsaw.''
Los autores enfatizan las funciones; obteniéndose entonces una secuencia en la matemática escolar como sigue:
Para el cálculo también se usa la notación de Liebniz: $\frac{dy}{dx}$, etc., etc.; es claro que la cultura matemática es la gran tirana.
No cambiaré la notación de funciones, ya que ni el Prof. Karl Menger, fue capaz de hacerlo en los Estados Unidos, en la década de los cuarenta del siglo pasado. Es suficiente para mi espíritu rebelde, que Microsoft esté teniendo problemas en vender Microsoft Office a los gobiernos de la Unión Europea.
Sin embargo, sí enfatizaré, los principios de buen pensar que introdujo Menger en su libro, $\textsc{Calculus: A Modern Approach}$. Antes que muchos notó que la automatización de la matemática requería una atención mayor a la notación.
- Sucesiones y Series
- Funciones
- Cálculo Diferencial
- Cálculo Integral de una Variable
El Prof. Kuratowski escribe:
Este libro contiene las notas de clase de cálculo diferencial e integral, que he impartido durante muchos años en la Universidad de Varsovia.
``This book contains notes of lectures on differential and integral calculus, prepared for publication, which I have held for many years in the University of Warsaw.''
Los autores enfatizan las funciones; obteniéndose entonces una secuencia en la matemática escolar como sigue:
- Números
- Variables
- Funciones
Para el cálculo también se usa la notación de Liebniz: $\frac{dy}{dx}$, etc., etc.; es claro que la cultura matemática es la gran tirana.
No cambiaré la notación de funciones, ya que ni el Prof. Karl Menger, fue capaz de hacerlo en los Estados Unidos, en la década de los cuarenta del siglo pasado. Es suficiente para mi espíritu rebelde, que Microsoft esté teniendo problemas en vender Microsoft Office a los gobiernos de la Unión Europea.
Sin embargo, sí enfatizaré, los principios de buen pensar que introdujo Menger en su libro, $\textsc{Calculus: A Modern Approach}$. Antes que muchos notó que la automatización de la matemática requería una atención mayor a la notación.
Wednesday, August 4, 2010
Conclusión
Si Newton y Leibniz hubieran tenido Gnumeric de Miguel de Icaza, la Historia sería diferente. Así como la ontogenía; es decir la historia particular de cada uno de nosotros, nos ha hecho como somos, unos se llaman Eduardo, y otros Ricardo; si son Cantoral, ya saben quien es el famoso; la Historia no se estudia así. Los profesionistas de esta disciplina no se interesan mucho en preguntas como: ¿Qué hubiera pasado si desde 1959 Raúl Castro, hubiera estado al frente de Cuba en lugar de Fidel?
De cualquier manera desde el punto de vista didáctico, sí nos podemos preguntar: ¿Cuál es la mejor manera de aprender cálculo?
Propongo que el uso de Gnumeric, y las ecuaciones de diferencias finitas, permiten una manera diferente de enseñar Mecánica, que tiene la ventaja de ser accesible a los estudiantes de menos de 18 años.
Ahora pasamos al libro de Karl Menger; lo que empieza en la siguiente nota.
$$x_n$$ con Gnumeric
Observaciones sobre Matrices del OA
De la nota anterior tenemos:
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) $$ = $$\left(\begin{array}{c c}\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \\\ frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_n \\x_n \end{array}\right) $$
Sustituyendo:
$$ \sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$ y $$ \cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$
Tenemos:
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$
Concentrando la atención en la matriz de transormación, tenemos:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos^2 \theta_{\epsilon} -\sin^2 \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} -\sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} \\
\sin \theta_{\epsilon}\cdot \cos \theta_{\epsilon}+\cdot\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} \cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} \end{array}\right)$$
Con las igualdades trigonométricas:
$$\cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} = \cos 2\theta_{\epsilon}$$
y
$$2\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} = \sin 2 \theta_{\epsilon}$$
Podemos escribir el cuadrado de la matriz de transforamción como:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos 2\theta_{\epsilon} - \sin 2\theta_{\epsilon}\\
\sin 2\theta_{\epsilon} \cos 2\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Se puede demostrar por inducción matemática que:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)^n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Concluyendo, si $$w_0$$ y $$\epsilon$$ son dados, entonces la solución buscada es:
$$w_n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right) \cdot w_0$$.
Geométricamente el vector de fase gira cada vez que pasa un tiempo discreto $$\epsilon$$, un ángulo $$\theta_\epsilon$$, en el sentido de las manecillas del reloj.
Para recordar este resultado matemático podemos ver que si $$v$$ es positiva, entonces $$x$$ aumenta; en otras palabras un punto en el primer cuadrante se acerca al eje de las abscisas, es decir al eje $$x$$.
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) $$ = $$\left(\begin{array}{c c}\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \\\ frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_n \\x_n \end{array}\right) $$
Sustituyendo:
$$ \sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$ y $$ \cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$
Tenemos:
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$
Concentrando la atención en la matriz de transormación, tenemos:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos^2 \theta_{\epsilon} -\sin^2 \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} -\sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} \\
\sin \theta_{\epsilon}\cdot \cos \theta_{\epsilon}+\cdot\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} \cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} \end{array}\right)$$
Con las igualdades trigonométricas:
$$\cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} = \cos 2\theta_{\epsilon}$$
y
$$2\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} = \sin 2 \theta_{\epsilon}$$
Podemos escribir el cuadrado de la matriz de transforamción como:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos 2\theta_{\epsilon} - \sin 2\theta_{\epsilon}\\
\sin 2\theta_{\epsilon} \cos 2\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Se puede demostrar por inducción matemática que:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)^n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Concluyendo, si $$w_0$$ y $$\epsilon$$ son dados, entonces la solución buscada es:
$$w_n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right) \cdot w_0$$.
Geométricamente el vector de fase gira cada vez que pasa un tiempo discreto $$\epsilon$$, un ángulo $$\theta_\epsilon$$, en el sentido de las manecillas del reloj.
Para recordar este resultado matemático podemos ver que si $$v$$ es positiva, entonces $$x$$ aumenta; en otras palabras un punto en el primer cuadrante se acerca al eje de las abscisas, es decir al eje $$x$$.
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