Otras fuentes importantes de material de física y matemáticas, son la Universidad de Stanford, y el Instituto Tecnológico de Massachusetts.
Aquí pongo una liga al curso de Álgebra Lineal del Prof. Strang, está en inglés.
MIT OpenCourse Ware: 18.06 Linear Algebra, Spring 2005
Tuesday, July 27, 2010
Inversión de Matrices (Wikipedia)
Solución analítica
[editar] Inversión de matrices 2×2
Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:[1]![\mathbf{A}^{-1} =
\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}^{-1} =
\frac{1}{ad - bc} \;
\left [
\begin{array}{rr}
d & -b \\
-c & a
\end{array}
\right ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vyofzpsAfJYI56ySsEjn3XF0x3yGgADY_s_Wlo6CFGmOHAlfGwd3D5BDktjpGNpoHRgFf-hsYzRgth5syM8u0Z4Ms1D9RneIk_5tlNRiC2fTKMaFAO_cf-eSPcrop22QgMs5OEd5Cb3Gq6gO55=s0-d)
[editar] Inversión de matrices de órdenes superiores
Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:
es el determinante de A y 
es la matriz de adjuntos de A
CALCULUS - A Modern Approach
Antes de escribir el problema del oscilador armónico con matrices de $2\times2$, voy a traducir un pedazo del libro de Karl Menger; cuyo título puedo traducir como: `` CÁLCULO : Un Acercamiento Moderno''.
En la p. 46 de la edición de Dover tenemos:
La determinación real de esas cotas presupone el cálculo de $1^2 + 2^2 + \dots + (n - 1)^2 + n^2 = \frac{1}{3} n^3 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{6}n$ para cualquier $n$.
Las leyes aritméticas de esta clase frecuentemente se descubren (como lo son las leyes físicas) por una adivinanza basada en la inspección de casos especiales. Por ejemplo, si uno observa que
$1 = 1,\hfill 1 + 3 = 4,\hfill 1+ 3 + 5 = 9,\hfill 1 + 3 + 5 + 7 = 16$,
se puede adivinar que, para cada entero $n$, la suma de los primeros $n$ términos impares es igual a $n^2$, esto es,
$1 + 3 + \dots + (2n - 3) + (2n - 1) = n^2$.
Unos pocos ensayos más confirman la adivinanza. Más allá de verificaciones como ésa en casos especiales, las leyes aritméticas (en contraste con las leyes físicas) se pueden probar en lo general. Por ejemplo, una prueba de la ley concerniente a los números impares es como sigue:
Suponga que la ley es válida para los primeros $n - 1$ números impares; es decir, suponga que
$1 + 3 + \dots + (2n - 3) = (n - 1)^2.$
Sumando $2n -1$ a ambos lados, uno concluye
$1 + 3 + \dots + (2n - 3) + (2n - 1) = (n - 1)^2 + (2n - 1).$
Puesto que el lado derecho es igual a $n^2$, se ha probado la ley para $n$ bajo la suposición de su validez para $n - 1$. Ahora la ley es válida para $4$ (y números menores); así, de acuerdo a lo que se ha probado, es válido para $5$. Puesto que es válido para $5$, es válido para $6$; y así para los que siguen. Por esta razón los matemáticos están satisfechos de que la ley es válida para cualquier $n$. Un razonamiento de esta clase se llama una prueba por inducción.
Monday, July 26, 2010
Matrices
El polinomio característico $\chi(\lambda)$ de la matriz de $2 \times 2$
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\]
está dado por la fórmula
\[ \chi(\lambda) = \left| \begin{array}{cc}
\lambda - a & -b \\
-c & \lambda - d \end{array} \right|.\]
Si se resuelve este sistema, es posible encontrar dos vectores columna que cumplen con la ecuación.
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c}
u_1\\
0\end{array}\right) = \lambda_1 \left(\begin{array}{c}
u_1\\
0\end{array}\right).\]
y
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
u_2\end{array}\right) = \lambda_2 \left(\begin{array}{c}
0\\
u_2\end{array}\right).\]
Pueden leer más en Wikipedia.
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\]
está dado por la fórmula
\[ \chi(\lambda) = \left| \begin{array}{cc}
\lambda - a & -b \\
-c & \lambda - d \end{array} \right|.\]
Si se resuelve este sistema, es posible encontrar dos vectores columna que cumplen con la ecuación.
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c}
u_1\\
0\end{array}\right) = \lambda_1 \left(\begin{array}{c}
u_1\\
0\end{array}\right).\]
y
\[ \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \end{array} \right)\cdot\left(\begin{array}{c}
0\\
u_2\end{array}\right) = \lambda_2 \left(\begin{array}{c}
0\\
u_2\end{array}\right).\]
Pueden leer más en Wikipedia.
Punto Medio
Cuando consideramos una variación directamente proporcional en una ecuación de diferencias finitas, es importante considerar el punto medio.
Galileo demostró que al tomar el promedio, es decir pasar la línea horizontal justo a la mitad de la línea inclinada, se obtiene la misma área del trapecio correspondiente, a la del rectángulo que tiene la horizontal como parte alta.
La razón como vimos antes, es que los triángulos formados con los ángulos agudos a la derecha, y a la izquierda son congruentes.
Para el oscilador armónico, tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, que reescribo aquí.
![[;\frac{v_{n+1} + v_n}{2}\times \epsilon = x_{n+1} - x_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s-uU3SJXLdhCQCFcvRq-GmaYHKsZ35GTgv8F_WHOhjC5CgJinN5DZIKiLfQNqvLO5yOraiGYBQrhrEXVBvj4BZjdwxRpZBl9Genw2mM6WXi0kv__RFmcHfYR9j0r-ULLVQBpi2ZJ1bykBfCjxrRj9L0hpR36FLwDSnda5bhVPl_baxJ4B9OKA00lCwHENipABe=s0-d "\frac{v_{n+1} + v_n}{2}\times \epsilon = x_{n+1} - x_n")
![[;v_{n+1} - v_n = - \frac{x_{n+1} + x_n}{2}\times \epsilon;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s6a55JP4qaVzzHgfbeKmnTqHRDNaa2G--tW72goUg3Y9zA6jIxK-zR3-T4vAQAm6oO9AuA6ejJyg0thlSp1HxmvvU2db14HOBifeCHLkBSnY_V6TLQ9IDZBxX2AQLkzf9megPiZCppLj1JhO7_GoAhbkXOo-_cWWoW_k5eLOap1o0rY0Jv4yqFiP0T8cM86qMlX48=s0-d "v_{n+1} - v_n = - \frac{x_{n+1} + x_n}{2}\times \epsilon")
La razón para poner el promedio, tanto para $x_n$ como para $v_n$, es que aparece la primera variación de esas cantidades en las ecuaciones. El resultado es exacto, ya que el área debajo de la línea horizontal, es igual a la de arriba de ella.
Antes de resolver el sistema, es bueno introducir matrices de $2\times2$
La razón como vimos antes, es que los triángulos formados con los ángulos agudos a la derecha, y a la izquierda son congruentes.
Para el oscilador armónico, tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas, que reescribo aquí.
La razón para poner el promedio, tanto para $x_n$ como para $v_n$, es que aparece la primera variación de esas cantidades en las ecuaciones. El resultado es exacto, ya que el área debajo de la línea horizontal, es igual a la de arriba de ella.
Antes de resolver el sistema, es bueno introducir matrices de $2\times2$
Saturday, July 24, 2010
Firefox 3.6.7
$\LaTeX$
Con este navegador o buscador (browser en inglés) cambié $\TeX$ the World, por $\LaTeX$ con WatchMath. Resulta que no era compatible el nuevo buscador con el viejo plugin.
Parece más fácil mantener este cambio.
Después de varias notas sobre astronomía, y el método de Polya para resolver problemas matemáticos, regreso en la nota de arriba a la solución del oscilador armónico.
Con este navegador o buscador (browser en inglés) cambié $\TeX$ the World, por $\LaTeX$ con WatchMath. Resulta que no era compatible el nuevo buscador con el viejo plugin.
Parece más fácil mantener este cambio.
Después de varias notas sobre astronomía, y el método de Polya para resolver problemas matemáticos, regreso en la nota de arriba a la solución del oscilador armónico.
Polya Para Leer en Español
Paso 1: Entender el Problema.
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?
6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
6.- Hacer una figura.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resover un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos
14.- Resolver una ecuación
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?
6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
6.- Hacer una figura.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resover un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos
14.- Resolver una ecuación
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar hacia atrás.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?
Comunmente los problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del problema en la que usa símbolos matemáticos, resuelve esta forma equivalente y luego interpreta la respuesta. Este proceso lo podemos representar como sigue:
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:
1.- Acepta el reto de resolver el problema.
2.- Reescribe el problema en tus propias palabras.
3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4.- Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.
5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7.- Analiza el problema desde varios ángulos.
8.- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9.- Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.
12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución.
14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.
15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.
Tomado de Método Polya
Algunas sugerencias hechas por quienes tienen éxito en resolver problemas:
Además del Método de Cuatro Pasos de Polya nos parece oportuno presentar en este apartado una lista de sugerencias hechas por estudiantes exitosos en la solución de problemas:
1.- Acepta el reto de resolver el problema.
2.- Reescribe el problema en tus propias palabras.
3.- Tómate tiempo para explorar, reflexionar, pensar...
4.- Habla contigo mismo. Házte cuantas preguntas creas necesarias.
5.- Si es apropiado, trata el problema con números simples.
6.- Muchos problemas requieren de un período de incubación. Si te sientes frustrado, no dudes en tomarte un descanso -el subconciente se hará cargo-. Después inténtalo de nuevo.
7.- Analiza el problema desde varios ángulos.
8.- Revisa tu lista de estrategias para ver si una (o más) te pueden ayudar a empezar
9.- Muchos problemas se pueden resolver de distintas formas: solo se necesita encontrar una para tener éxito.
10.- No tenga miedo de hacer cambios en las estrategias.
11.- La experiencia en la solución de problemas es valiosísima. Trabaje con montones de ellos, su confianza crecerá.
12.- Si no estás progresando mucho, no vaciles en volver al principio y asegurarte de que realmente entendiste el problema. Este proceso de revisión es a veces necesario hacerlo dos o tres veces ya que la comprensión del problema aumenta a medida que se avanza en el trabajo de solución.
13.- Siempre, siempre mira hacia atrás: Trata de establecer con precisión cuál fué el paso clave en tu solución.
14.- Ten cuidado en dejar tu solución escrita con suficiente claridad de tal modo puedas entenderla si la lees 10 años después.
15.- Ayudar a que otros desarrollen habilidades en la solución de problemas es una gran ayuda para uno mismo: No les des soluciones; en su lugar provéelos con sugerencias significativas.
16.- ¡Disfrútalo! Resolver un problema es una experiencia significativa.
Tomado de Método Polya
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