Mecánica

Thursday, July 22, 2010

Oscilador Armónico

Robert Hooke fue un enemigo de Newton. Según la nota anterior de Wikipedia que pongo en este párrafo, no desarrollaba sus ideas, aunque tenía muchas. Se pelearon por la autoría de la Ley Universal de la Gravitación que será tema de otra nota. Ahora me interesa la llamada ``Ley de Hooke.''

Lo bueno de empezar una área del conocimiento es que el nombre de uno aparece en cuestiones fundamentales. En este caso, de la segunda liga de Wikipedia del párrafo anterior podemos leer:

``La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento $[;\delta;]$ producido:

$F = -k\delta \,$ ''

Aquí doy la cinemática, y más adelante en dinámica, veremos ¿qué representa la fuerza, y porqué esta relación se satisface en muchos casos?

Cinemáticamente, es decir matemáticamente, nos interesa conocer la posición de un cuerpo, cuya aceleración es conocida, no en función del tiempo, sino de la posición misma. Sucede que este problema se puede resolver exactamente con diferencias finitas, y por eso lo pongo aquí.

Del problema de aceleración constante presentado antes, vimos que si la velocidad varía linealmente se puede sustituir esa variación por la velocidad promedio.

$[;\bar v_n = \frac{v_{n+1} + v_n}{2};]$

Poniendo atención en ésto; vemos que es la matemática de la variación la que nos lleva a una situación en que la sustitución de una constante en lugar de una variable no produce errores de cálculo. En pocas palabras, lo que corre de menos Aquiles al principio de la carrera, exactamente lo corre de más al final.

Según Hooke, la aceleración varía linealmente con la posición. Con esta observación empírica, obtenemos el siguiente problema en una dimensión.

En lugar de:

[;a_n = -k x_n;]

se puede obtener una solución exacta con:

$[;a_n = -k \bar x_n;]$

Donde:

$[;\bar x_n = \frac{x_{n+1} + x_n}{2};]$

Con la definición cinemática de aceleración, y la ecuación anterior, podemos plantear y resolver el problema del oscilador armónico exactamente en diferencias finitas.

$[;\bar v_n = \frac{x_{n+1} - x_n}{t_{n+1} - t_n};]$

Queda un sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas recursivo. Usaremos matrices de dos dimensiones para despejar la velocidad y la posición en el tiempo $[;(n+1)\epsilon;]$ , en función de la velocidad y la posición en $[;n\epsilon;]$ , en la siguiente nota.

Para no complicar la presentación tomo el caso de [;k = 1;]

, y

. Así tenemos:

$[;\frac{v_{n+1} + v_n}{2}\times \epsilon = x_{n+1} - x_n;]$

$[;v_{n+1} - v_n = - \frac{x_{n+1} + x_n}{2}\times \epsilon;]$

Solución Exacta del Movimiento Uniformemente Acelerado

Galileo demostró geométricamente que la velocidad promedio del movimiento uniformemente acelerado corresponde al mismo desplazamiento que el de velocidad linealmente variable.

$[;\bar v_n = \frac{v_{n+1} + v_n}{2};]$

De una nota anterior tenemos:

$[;v_n = v_0 + a \times (n\epsilon);]$

Sustituyendo:

$[;\bar v_n = \frac{2v_0 + a\times\{(2n +1)\epsilon\}}{2};]$

Finalmente el desplazamiento se obtiene de:

$[;x_{n+1} = x_n + \frac{2v_0 + a\times\{(2n + 1)\epsilon\}}{2}\times \epsilon;]$

Este es un problema nuevo en esta sección de diferencias finitas. Ahora la iteración produce una suma con términos que dependen de [;n;]

. Veamos que tipo de estructura produce esta iteración. Empecemos por [;n = 0;]

, y veamos el que sigue también.

$[;x_1 = x_0 + v_0\times \epsilon + \frac{a\times \epsilon^2}{2};]$

$[;x_2 = x_0 + v_0\times \epsilon + \frac{a\times \epsilon^2}{2} + v_0\times \epsilon + \frac{a\times\{3\}\epsilon^2}{2};]$

$[;x_2 = x_0 + v_0\times(2\epsilon) + \frac{a\times \epsilon^2}{2}\times \{1 + 3\};]$

El segundo término parece que para el caso [;n;]

será $[;(n\epsilon);]$ . Es un poco más dificil de adivinar el último término que es la suma de los números impares.

$[;1 + 3 + \dots + 2j +1 = \Sigma_{k=0}^j \{2k +1\};]$

Veamos unos casos, escojamos el patrón, y demostrémoslo con inducción matemática.

, $[;\dots;]$ , $[;1 + 3 + \dots + 2k +1 = (k + 1)^2;]$

Inducción matemática

Ya están terminados los pasos [;1;]

El último paso es obtener la fórmula para [;k + 1;]

suponiendo que el caso [;k;]

es correcto.

Para eso es suficiente sustituir el nuevo término a ambos lados de la última expresión.

$[;1 + 3 + \dots + 2k + 1 + 2(k + 1) + 1 = (k + 1)^2 + 2(k + 1) + 1;]$

Pero,

[; (k + 1)^2 + 2(k + 1) + 1 = (k + 1 + 1)^2;]

. Q.E.D.

Tenemos pues la expresión final:

$[;x_n = x_0 + v_0\times (n\epsilon) + \frac{a\times \epsilon^2}{2}(n - 1 + 1)^2;]$

Es decir:

$[;x_n = x_0 + v_0\times(n\epsilon) + \frac{a\times (n\epsilon)^2}{2};]$

Podemos tomar $[;n \rightarrow \infty, \epsilon \rightarrow 0, t = n\epsilon;]$ . El tiempo no es infinito, ni cero, tiene un valor finito; sin embargo pueden ver que si dejan el producto $[;n\epsilon;]$ fijo, pueden tomar [;n;]

s tan grandes y $[;\epsilon;]$ s tan chiquitas como quieran.

Este resultado es exacto, también lo ṕodemos escribir como sigue:

$[;x(t) = x(0) + v(0)t +\frac{1}{2}a t^2;]$

Se puede recordar facilmente este resultado si consideran el caso [;v(0) = 0;]

, es decir como dice Galileo ``un cuerpo que empieza del reposo,'' y si medimos la posición desde el punto donde se empieza a acelerar, o sea. [;x(0) = 0;]

$[;x(t) = \frac{1}{2}a t^2;]$

La gráfica de [;v(t);]

es una línea recta con pendiente [;a;]

. El área del triángulo correspondiente es $[;\frac{b\times h}{2};]$ . La base es [;t;]

, y la altura ( [;h;]

) es

De los cursos de cálculo que tomaron en la prepa, ya saben que el área es la integral, y que la integral de [;t;]

, es $[;\frac{t^2}{2};]$ . Una razón por la que prefiero este enfoque es que en ocasiones se aprenden los resultados de memoria y no saben los conceptos, aunque vean las gráficas. El Dr. Dolores ha hecho estudios en el salón de clase, y con exámenes de conceptos, y encuentra un énfasis en las fórmulas, y cómo se usan, y menos en ¿qué significan?

Otra razón, es que el método de las diferencias finitas es general; es decir en principio ya saben integrar cualquier problema cinemático, lineal o no lineal. En la actualidad se está estudiando el Sistema Solar, con una variedad de naves espaciales, que varios países han puesto en órbita. Además el Gobierno Mexicano, aprobó La Agencia Espacial Mexicana.

En tiempos de Newton y Leibniz, se conocían las diferencias finitas, pero no eran prácticas. La situación es diferente en la actualidad.

Mecánica

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Thursday, July 22, 2010

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Solución Exacta del Movimiento Uniformemente Acelerado

Revisión del Libro Estructura e Interpretación de la Mecánica Clásica
por G. J. Sussman y J. Wisdom, con Hardy Mayer (Prensa del M.I.T. )

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