Definición de Integral

En la página 141 del libro de Cálculo de Karl Menger tenemos:

(14) $\int_a^b f = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\cdot [f(a + \frac{d}{2}) + f(a +3 \frac{d}{2}) + \dots +f(a + (2n -1)\frac{d}{2})]\cdot(b - a)$

donde $d = (b -a)/n$

Por lo pronto a las 7:00 AM

Los que vayan a participar en esta actividad nos vemos mañana temprano.

Fractales en el Libro de Karl Menger

Cuando conocí los fractales por primera vez en 1981, en el Museo de la Ciencia de Boston. Primero me alegré por saber algo nuevo, luego me molestó que nadie en México se hubiere tomado la molestia de decirme algo al respecto, y finalmente me sentí obligado a decirlo al mayor número de estudiantes posibles.

Aquí pongo mi granito de arena.

Resulta que el Prof. Menger ya para 1955 tenía publicado el libro de Cálculo, para un amplio público, del que he escrito aquí. Tomaré una sección de la página 134.

``En base a su experiencia con funciones elementales, los matemáticos pensaron originalmente que toda función continua $f$ tenía una derivada $\textbf{D} f $x para la mayoría de los números x que pertenecen al Dom $f$ - en lenguaje geométrico, que los puntos donde una curva continua no tiene tangente son excepcionales. Hasta existen pruebas incorrectas de esta aseveración (Ampère, 1806). Bolzano construyó una curva continua sin tangente en todos los punto pero nunca publicó este gran resultado. En los 1870s, Weierstrass definió a las funciones continuas  sin derivada en todos lados sumando un número infinito de curvas coseno cada una con una frecuencia mayor  pero una amplitud menor, que la curva anterior. Uno de sus ejemplos es

$\frac{1}{2}\cos (13 \pi j) + \frac{1}{2^2}\cos (13^2 \pi j) + \frac{1}{2^3}\cos (13^3 \pi j) + \dots + \frac{1}{2^n}\cos (13^n \pi j) + \dots$

En el intervalo entre $0$ y $1$, sobre las $13$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{2}$, Weierstrass superimpone primero $13^2$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{4}$, después $13^3$ oscilaciones de amplitud $\frac{1}{8}$, y así sucesivamente. El resultado para cada superposición es una curva que tiene una tangente en cada punto pero es, como se dijera, más temblorosa que la curva precedente. Se puede mostrar que el límite de las curvas así obtenidas es la gráfica de una función que es continua en todos lados sin tener una derivada en todos los puntos.''

La única otra referencia de esas fechas, a una situación así,  la leí en un artículo de Richard P. Feynman de 1949.

Ni Menger ni Feynman llaman a esas figuras fractales. Pero así las bautizó Mandelbrot  en los 1970s. La diferencia con Menger es que lo pusó en un libro de texto, y Feynman en un artículo con ideas originales.

El Límite

Karl Menger escribe casi la tercera parte de su libro sin definir límite. Los primeros capítulos se refieren a un álgebra de funciones lineales; verticales y horizontales. Con esas resuelve el problema del cálculo que define en la página 1.

Todo el libro está escrito con precisión conceptual, tocando tres aspectos del concepto de variable.

     I. Variables según Weierstrass, llamadas aquí variables numéricas, como $x$ e $y$ en

(1) $x^2 - 9 y^2 = (x + 3y)\cdot (x - 3y)$ para cualquiera dos números $x$ e $y$

     II. Variables o cantidades variables en el sentido en el cuál los científicos usan estos términos; por ejemplo, $t$, el tiempo; $s$, la distancia recorrida (en unidades escogidas); $x$ e $y$, la abcisa y ordenada en un plano físico o postulado (relativo a sistemas escogidos de referencia); etc.

...

(2) $s = 16t^2$.

...

    III. Variables en el sentido de $u$ y $w$ en aseveraciones como 

(3) Si $w = 16 u^2$, entonces $\frac{dw}{du} = 32 u$ para cualquiera dos fluentes, $u$ y $w$.

Menger distingue con distinto font los símbolos que usará en el libro. No he intentado escribirlo en $\LaTeX$, pues distingue entre números en cursiva 6 , y números en romana 6. Sin embargo si quiero expresar la opinión de que en 1955, Merger se adelantó a las preocupaciones de los matemáticos al automatizar el cálculo numérico.

Gnuplot

Sesión de gnuplot para hacer la gráfica que está abajo.

Mecánica y Medallas Fields

Hasta donde entiendo, todas las medallas Fields dadas esta semana en Hyderabad están relacionadas con ideas mecánicas.

Pueden leer aquí.

Área Bajo la Curva con gnuplot

Figura hecha con ayuda de Enrique García Reyes.