Thursday, August 5, 2010
Notación
Los libros de Cálculo tienen esta estructura general:
El Prof. Kuratowski escribe:
Este libro contiene las notas de clase de cálculo diferencial e integral, que he impartido durante muchos años en la Universidad de Varsovia.
``This book contains notes of lectures on differential and integral calculus, prepared for publication, which I have held for many years in the University of Warsaw.''
Los autores enfatizan las funciones; obteniéndose entonces una secuencia en la matemática escolar como sigue:
Para el cálculo también se usa la notación de Liebniz: $\frac{dy}{dx}$, etc., etc.; es claro que la cultura matemática es la gran tirana.
No cambiaré la notación de funciones, ya que ni el Prof. Karl Menger, fue capaz de hacerlo en los Estados Unidos, en la década de los cuarenta del siglo pasado. Es suficiente para mi espíritu rebelde, que Microsoft esté teniendo problemas en vender Microsoft Office a los gobiernos de la Unión Europea.
Sin embargo, sí enfatizaré, los principios de buen pensar que introdujo Menger en su libro, $\textsc{Calculus: A Modern Approach}$. Antes que muchos notó que la automatización de la matemática requería una atención mayor a la notación.
- Sucesiones y Series
- Funciones
- Cálculo Diferencial
- Cálculo Integral de una Variable
El Prof. Kuratowski escribe:
Este libro contiene las notas de clase de cálculo diferencial e integral, que he impartido durante muchos años en la Universidad de Varsovia.
``This book contains notes of lectures on differential and integral calculus, prepared for publication, which I have held for many years in the University of Warsaw.''
Los autores enfatizan las funciones; obteniéndose entonces una secuencia en la matemática escolar como sigue:
- Números
- Variables
- Funciones
Para el cálculo también se usa la notación de Liebniz: $\frac{dy}{dx}$, etc., etc.; es claro que la cultura matemática es la gran tirana.
No cambiaré la notación de funciones, ya que ni el Prof. Karl Menger, fue capaz de hacerlo en los Estados Unidos, en la década de los cuarenta del siglo pasado. Es suficiente para mi espíritu rebelde, que Microsoft esté teniendo problemas en vender Microsoft Office a los gobiernos de la Unión Europea.
Sin embargo, sí enfatizaré, los principios de buen pensar que introdujo Menger en su libro, $\textsc{Calculus: A Modern Approach}$. Antes que muchos notó que la automatización de la matemática requería una atención mayor a la notación.
Wednesday, August 4, 2010
Conclusión
Si Newton y Leibniz hubieran tenido Gnumeric de Miguel de Icaza, la Historia sería diferente. Así como la ontogenía; es decir la historia particular de cada uno de nosotros, nos ha hecho como somos, unos se llaman Eduardo, y otros Ricardo; si son Cantoral, ya saben quien es el famoso; la Historia no se estudia así. Los profesionistas de esta disciplina no se interesan mucho en preguntas como: ¿Qué hubiera pasado si desde 1959 Raúl Castro, hubiera estado al frente de Cuba en lugar de Fidel?
De cualquier manera desde el punto de vista didáctico, sí nos podemos preguntar: ¿Cuál es la mejor manera de aprender cálculo?
Propongo que el uso de Gnumeric, y las ecuaciones de diferencias finitas, permiten una manera diferente de enseñar Mecánica, que tiene la ventaja de ser accesible a los estudiantes de menos de 18 años.
Ahora pasamos al libro de Karl Menger; lo que empieza en la siguiente nota.
$$x_n$$ con Gnumeric
Observaciones sobre Matrices del OA
De la nota anterior tenemos:
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) $$ = $$\left(\begin{array}{c c}\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \\\ frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_n \\x_n \end{array}\right) $$
Sustituyendo:
$$ \sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$ y $$ \cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$
Tenemos:
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$
Concentrando la atención en la matriz de transormación, tenemos:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos^2 \theta_{\epsilon} -\sin^2 \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} -\sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} \\
\sin \theta_{\epsilon}\cdot \cos \theta_{\epsilon}+\cdot\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} \cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} \end{array}\right)$$
Con las igualdades trigonométricas:
$$\cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} = \cos 2\theta_{\epsilon}$$
y
$$2\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} = \sin 2 \theta_{\epsilon}$$
Podemos escribir el cuadrado de la matriz de transforamción como:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos 2\theta_{\epsilon} - \sin 2\theta_{\epsilon}\\
\sin 2\theta_{\epsilon} \cos 2\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Se puede demostrar por inducción matemática que:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)^n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Concluyendo, si $$w_0$$ y $$\epsilon$$ son dados, entonces la solución buscada es:
$$w_n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right) \cdot w_0$$.
Geométricamente el vector de fase gira cada vez que pasa un tiempo discreto $$\epsilon$$, un ángulo $$\theta_\epsilon$$, en el sentido de las manecillas del reloj.
Para recordar este resultado matemático podemos ver que si $$v$$ es positiva, entonces $$x$$ aumenta; en otras palabras un punto en el primer cuadrante se acerca al eje de las abscisas, es decir al eje $$x$$.
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) $$ = $$\left(\begin{array}{c c}\frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \frac{-2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} \\\ frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\frac{1 - ( \frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}v_n \\x_n \end{array}\right) $$
Sustituyendo:
$$ \sin \theta_{\epsilon} = \frac{2\frac{\epsilon}{2}}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$ y $$ \cos \theta_{\epsilon} = \frac{1 - (\frac{\epsilon}{2})^2}{1 + (\frac{\epsilon}{2})^2} $$
Tenemos:
$$\left(\begin{array}{c}
v_{n + 1}\\
x_{n + 1}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}
v_n \\
x_n \end{array}\right)$$
Concentrando la atención en la matriz de transormación, tenemos:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c c}
\cos^2 \theta_{\epsilon} -\sin^2 \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} -\sin \theta_{\epsilon}\cdot\cos \theta_{\epsilon} \\
\sin \theta_{\epsilon}\cdot \cos \theta_{\epsilon}+\cdot\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} \cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} \end{array}\right)$$
Con las igualdades trigonométricas:
$$\cos^2 \theta_{\epsilon} - \sin^2 \theta_{\epsilon} = \cos 2\theta_{\epsilon}$$
y
$$2\cos \theta_{\epsilon}\cdot \sin \theta_{\epsilon} = \sin 2 \theta_{\epsilon}$$
Podemos escribir el cuadrado de la matriz de transforamción como:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos 2\theta_{\epsilon} - \sin 2\theta_{\epsilon}\\
\sin 2\theta_{\epsilon} \cos 2\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Se puede demostrar por inducción matemática que:
$$ \left(\begin{array}{c c}
\cos \theta_{\epsilon} - \sin \theta_{\epsilon}\\
\sin \theta_{\epsilon} \cos \theta_{\epsilon}\end{array}\right)^n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right)$$
Concluyendo, si $$w_0$$ y $$\epsilon$$ son dados, entonces la solución buscada es:
$$w_n = \left(\begin{array}{c c}
\cos n\theta_{\epsilon} - \sin n\theta_{\epsilon}\\
\sin n\theta_{\epsilon} \cos n\theta_{\epsilon}\end{array}\right) \cdot w_0$$.
Geométricamente el vector de fase gira cada vez que pasa un tiempo discreto $$\epsilon$$, un ángulo $$\theta_\epsilon$$, en el sentido de las manecillas del reloj.
Para recordar este resultado matemático podemos ver que si $$v$$ es positiva, entonces $$x$$ aumenta; en otras palabras un punto en el primer cuadrante se acerca al eje de las abscisas, es decir al eje $$x$$.
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