The Lick-Carnegie Exoplanet Survey: A Uranus-mass Fourth Planet for GJ 876 in an Extrasolar Laplace Configuration

(Abreviated) Continued radial velocity monitoring of the nearby M4V red dwarf star GJ~876 with Keck/HIRES has revealed the presence of a Uranus-mass fourth planetary companion in the system. The new planet has a mean period of $P_e=126.6$ days (over the 12.6-year baseline of the radial velocity observations), and a minimum mass of $m_e\sin{i_e}=12.9\pm 1.7\,M_{\oplus}$. Self-consistent, N-body fits to the radial velocity data set show that the four-planet system has an invariable plane with an inclination relative to the plane of the sky of $i=59.5^{\circ}$. The fit is not significantly improved by the introduction of a mutual inclination between the planets ``b'' and ``c,'' but the new data do confirm a non-zero eccentricity, $e_d=0.207\pm0.055$ for the innermost planet, ``d.'' In our best-fit coplanar model, the mass of the new component is $m_e=14.6\pm1.7\,M_{\oplus}$. Our best-fitting model places the new planet in a 3-body resonance with the previously known giant planets (which have mean periods of $P_c=30.4$ and $P_b=61.1$ days). The critical argument, $\varphi_{\rm Laplace}=\lambda_c-3\lambda_b+2\lambda_e$, for the Laplace resonance librates with an amplitude of $\Delta\varphi_{\rm Laplace}=40\pm13^{\circ}$ about $\varphi_{\rm Laplace}=0^{\circ}$. Numerical integration indicates that the four-planet system is stable for at least a billion years (at least for the coplanar cases). This resonant configuration of three giant planets orbiting an M-dwarf primary differs from the well-known Laplace configuration of the three inner Galilean satellites of Jupiter, which are executing very small librations about $\varphi_{\rm Laplace}=180^{\circ}$, and which never experience triple conjunctions. The GJ~876 system, by contrast, comes close to a triple conjunction between the outer three planets once per every orbit of the outer planet, ``e.''

Tomado de arXiv

d. El Histórico Camuflaje de Ideas en la Notación de Leibniz

``d. The Epdochal Camouflage of Ideas in Leibniz' Notation.


The designation of antiderivatives as indefinite integrals and of derivatives as differential quotients has had two important consequences.

On the one hand, that notation camouflages the fundamental result of calculus and ( as will be seen in Chapter VIII) some difficult operations on derivatives as truisms. In past centuries, undoubtedly, this very camouflage secured the basic ideas of calculus acceptance by many who would have shunned a method obviously surpassing their understanding. Without the protection of a plausible appearance, those great ideas might not even have survived - just as some bright butterflies would perish if, with folded wings, they did not assume the appearance of inconspicuous leaves.

On the other hand, the traditional notation has made it difficult to understand calculus. The symbol $$\int_a^b f(x) dx$$, while objectionable on account of its dummy part, is at least reminiscent of the sums  of products as whose limit the integral is defined. The symbol $$\int f(x) dx$$, however, not only fails to remind one of the inverse of derivation - the operation he has to perform - but strongly suggests sums of products (the same sums of which the integral is reminiscent) with which the antiderivative concept has absolutely nothing to do.

The traditional symbols, introduced essentially by Leibniz, make it hard to distinguish definitions from theorems, technical difficulties from profound problems, and minor results from tremendous discoveries.

All in all, Leibniz' notation accounts for what, from a sociological point of view, are the two most striking facts in the history of calculus: that for centuries the use  of that great theory has been enormously wide, and that even today its use is often mechanical.''

Antes de leer la traducción lean la liga a Camuflaje Militar. 

Antes de traducir doy un resumen:

El Prof. Menger nota que la notación para las integrales indefinidas usadas hasta ahora en todo el mundo es mala. El símbolo $\int f(x) dx$ no nos orienta para las operaciones que realmente hacemos cuando buscamos la función cuya derivada es $f(x)$. Además habla de un camuflaje; cree Menger, que Newton y Leibniz fueron conscientes que la mayoría de sus contemporáneos no los entendían, por lo que decidieron enseñar a sacar derivadas e integrales de memoria, y no a que comprendieran los conceptos. Esta situación no es muy diferente a la de la enseñanza de la Aritmética en la primaria; la intención de los docentes no es que los niños aprendan los conceptos, el objetivo con esos imberbes niños es que se memoricen el algoritmo, sin siquiera entender por qué es correcto. Ahora sí la traducción es ésta:

d. El Histórico Camuflaje de Ideas en la Notación de Leibniz

La designación de primitivas como integrales indefinidas y de las derivados como cocientes diferenciales ha tenido dos consecuencias importantes.

Por un lado, esa notación camuflea el resultado fundamental del cálculo y (como se verá en el capítulo VIII) algunas operaciones difíciles en derivadas como verdades sin necesidad de demostración. En siglos pasados, sin lugar a dudas, este camuflaje  aseguró la aceptación de las ideas básicas del cálculo por muchos que hubieran rechazado un método, que obviamente superaba la comprensión de su parte. Sin la protección de una apariencia verosímil, las grandes ideas, incluso podrían no haber sobrevivido - así como algunas mariposas brillantes perecerían si, con las alas plegadas,  no asumieran la apariencia de las hojas de las plantas.

Por otra parte, la notación tradicional ha hecho difícil  entender el cálculo. El símbolo    , aunque objetable por el uso de variables mudas, al menos recuerda los límites de las sumas de productos con los cuales se define la integral. El símbolo  , sin embargo, no sólo falla en recordarnos la inversa de la derivada - la operación que uno tiene que hacer - sino además sugiere fuertemente sumas de productos (las mismas sumas que nos recuerda la integral ), con lo cual el concepto de antiderivada no tiene absolutamente nada que ver.

Los símbolos tradicionales, introducidos esencialmente por Leibniz, hacen que sea difícil distinguir entre definiciones y teoremas, dificultades técnicas con problemas profundos, y resultados menores de  descubrimientos tremendos.

En definitiva, la notación de Leibniz nos presenta lo que, desde un punto de vista sociológico, son los dos hechos más sorprendentes en la historia del cálculo: de que por siglos el uso de esa gran teoría ha sido muy amplia, y que aún hoy en día su uso es a menudo meramente mecánico''.

Movimiento de dos Cuerpos

Tomado de arXiv

``1. INTRODUCTION

The motion of a planet around a star can be understood in the context of the two-body problem, where two bodies exert a mutual gravitational effect on each other. The solution to the problem was first presented by Isaac Newton (1687) in his Principia. He was able to show that the observed elliptical path of a planet and the empirical laws of planetary motion derived by Kepler (1609, 1619) were a natural consequence of an inverse square law of force acting between a planet and the Sun. According to Newton’s universal law of gravitation, the magnitude of the force between any two masses $m_1$ and $m_2$ separated by a distance $r$ is given by

$F = G \frac{m_1m_2}{ r^2}$  (1)

where $G = 6.67260 \times 10^{-11}Nm^2 kg^{-2}$ is the universal gravitational constant. The law is applicable in a wide variety of circumstances. For example, the two bodies could be a moon orbiting a planet or a planet orbiting a star. Newton’s achievement was to show that motion in an ellipse is the natural consequence of such a law.''

Antiderivada

``Nothing illustrates Leibniz' influence on the development of calculus as strikingly as the prevalence for over a quarter of a millennium of the symbol

$\int f(x) dx$ in the treatment of antiderivatives.''

Tomado  de la p. 156 del libro de Menger.

Traducción:

Nada ilustra la influencia de Leibniz en el desarrollo del cálculo tanto como la prevalencia por más de un cuarto de un milenio del símbolo

$\int f(x) dx$ en el tratamiento de las antiderivadas.''

Hoy Pasaron Dos Asteroides Cerca de la Tierra

National Geographic

¡Apenas los descubrieron el domingo!

Satélites de Saturno

Scientific American

Leyes de Newton

Estructura de la Materia

Hay algo a lo que le podemos llamar el Zoológico de las Partículas. Les muestro aquí un lugar que mantiene la Fundación Nobel sobre la Estructura de la Materia.

Tarea

Hoy hablamos de sistemas de unidades: Unidad de Medida.

Usando el método de análisis dimensional, calcule el valor de la longitud de Planck, tiempo de Planck, y la masa de Planck.